Lista de Exercícios № 5 9) Foi feito um estudo sobre a altura dos alunos de uma faculdade, observando-se que ela se distribuía normalmente com média de 172 cm e desvio padrão de 5 cm . Qual a porcentagem dos alunos com altura:
b) entre 162 cm e 182 cm ?

Passo 1

O enunciado nos dá a altura X dos alunos distribuída normalmente com média \mu=172 cm e desvio padrão \sigma=5 cm, e pede a porcentagem de alunos cuja altura está entre 162 cm e 182 cm, isto é,
\Pr(162 \le X \le 182).
Conteúdo utilizado: distribuição normal e padronização.

Passo 2

Para usar a tabela da normal padrão, padronizamos X definindo
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1).
O evento 162 \le X \le 182 vira
\frac{162 - 172}{5} \;\le\; Z \;\le\; \frac{182 - 172}{5}.

Passo 3

Calculando os valores de z:
z_1 = \frac{162 - 172}{5} = -2, \quad z_2 = \frac{182 - 172}{5} = 2.
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\Pr(162 \le X \le 182) = \Pr(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2).
Pela simetria da normal padrão, \Phi(-2)=1-\Phi(2).

Passo 4

Da tabela da normal padrão, \Phi(2)\approx0,97725. Então
\Pr(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \bigl(1-\Phi(2)\bigr) = 2\,\Phi(2) - 1 \approx 2\times0,97725 - 1 = 0,9545.
Em porcentagem isso corresponde a cerca de 95,45\%.

Resposta

A porcentagem dos alunos com altura entre 162 cm e 182 cm é aproximadamente 95{,}45\%.

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