1. Seja X: B(n, p). Sabendo-se que E(X)=12 e \operatorname{VAR}(X)=4, determinar n, p, E(Z) e VAR(Z), sendo \mathrm{Z}=\frac{X-6}{3} . \quad 18 ; 2 / 3 ; 2 e 4/9

Passo 1

O enunciado diz que X é binomial com parâmetros n e p, ou seja X\sim B(n,p), e nos dá
E(X)=12, \quad \operatorname{Var}(X)=4,
além de definir
Z=\frac{X-6}{3}.
Para resolver, vamos usar as fórmulas
E(X)=np, \quad \operatorname{Var}(X)=np(1-p),
e em seguida as propriedades de esperança e variância lineares para Z.

Passo 2

Usando E(X)=np=12, escrevemos
p=\frac{12}{n}.
Substituindo em \operatorname{Var}(X)=np(1-p)=4, temos
n\cdot\frac{12}{n}\Bigl(1-\frac{12}{n}\Bigr)=4 \;\;\Longrightarrow\;\; 12\Bigl(1-\frac{12}{n}\Bigr)=4 \;\;\Longrightarrow\;\; 12-\frac{144}{n}=4 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{144}{n}=8 \;\;\Longrightarrow\;\; n=18.
Logo
p=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.

Passo 3

Agora Z=(X-6)/3. Pela linearidade da esperança,
E(Z)=\frac{E(X)-6}{3}=\frac{12-6}{3}=2.

Passo 4

E pela propriedade \operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X),
\operatorname{Var}(Z)=\frac{1}{3^2}\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{9}\cdot 4=\frac{4}{9}.

Resposta

n=18 p=\tfrac{2}{3} E(Z)=2 \operatorname{Var}(Z)=\tfrac{4}{9}

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