• LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
    ((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
    (b) \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} \frac{y}{1+x^{2}} d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada abaixo:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}\frac{y}{1+x^{2}}\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A integral interna é em x com limites x=0 a x=1.
  • A integral externa é em y com limites y=0 a y=2.
  • A função integranda é \dfrac{y}{1+x^{2}}, definida e contínua no retângulo [0,2]\times[0,1].
  • A pergunta é: calcular o valor numérico dessa integral iterada.

Passo 2

Estratégia e justificativa (sem resolver ainda). Como a função \dfrac{y}{1+x^{2}} é contínua no retângulo de integração, a integral dupla pode ser calculada como integral iterada, integrando primeiro em x (conforme a ordem dada) e depois em y. Ao integrar em x tratamos y como constante porque a integração em x considera y fixo naquele passo. A ideia prática:
  • calcular \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{y}{1+x^{2}}\,dx (a variável de integração é x),
  • obter uma expressão em y,
  • e então calcular \displaystyle \int_{0}^{2}(\cdots)\,dy.
Também é útil lembrar a primitiva básica que vamos usar: a derivada de \arctan x é
\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\frac{1}{1+x^{2}},
portanto uma antiderivada de \dfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan x.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{1}\frac{y}{1+x^{2}}\,dx.
Como y é constante em relação a x, pode-se fatorar y para fora da integral:
\int_{0}^{1}\frac{y}{1+x^{2}}\,dx = y\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Usando a antiderivada \arctan x para \dfrac{1}{1+x^{2}}, obtemos
y\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = y\big[\arctan x\big]_{0}^{1} = y\big(\arctan 1 - \arctan 0\big).
Sabendo que \arctan 1=\dfrac{\pi}{4} e \arctan 0=0, isso dá
\int_{0}^{1}\frac{y}{1+x^{2}}\,dx = y\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\,y.

Passo 4

Agora integramos o resultado em y:
\int_{0}^{2}\left(\frac{\pi}{4}\,y\right)\,dy.
Fatorando a constante \dfrac{\pi}{4} para fora:
\frac{\pi}{4}\int_{0}^{2}y\,dy.
A antiderivada de y é \dfrac{y^{2}}{2}, então
\frac{\pi}{4}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{2^{2}}{2} = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{4}{2} = \frac{\pi}{4}\cdot 2.
Portanto o valor numérico é
\frac{\pi}{4}\cdot 2 = \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Checagem rápida: todas as manipulações foram legais porque a função integranda é contínua no domínio, permitiu trocar o fator y para fora da integração em x e integrar term a term. O resultado \dfrac{\pi}{2} é um número razoável (positivo), como esperado já que a integranda é não negativa no retângulo.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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