- LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
(b)
;
((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada abaixo:
Informações dadas:
- A integral interna é em
com limites a . - A integral externa é em
com limites a . - A função integranda é
, definida e contínua no retângulo . - A pergunta é: calcular o valor numérico dessa integral iterada.
Passo 2
Estratégia e justificativa (sem resolver ainda). Como a função
é contínua no retângulo de integração, a integral dupla pode ser calculada como integral iterada, integrando primeiro em
(conforme a ordem dada) e depois em
. Ao integrar em
tratamos
como constante porque a integração em
considera
fixo naquele passo. A ideia prática:
- calcular
(a variável de integração é ), - obter uma expressão em
, - e então calcular
.
Também é útil lembrar a primitiva básica que vamos usar: a derivada de
é
portanto uma antiderivada de
é
.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Como
é constante em relação a
, pode-se fatorar
para fora da integral:
Usando a antiderivada
para
, obtemos
Sabendo que
e
, isso dá
Passo 4
Agora integramos o resultado em
:
Fatorando a constante
para fora:
A antiderivada de
é
, então
Portanto o valor numérico é
Passo 5
Checagem rápida: todas as manipulações foram legais porque a função integranda é contínua no domínio, permitiu trocar o fator
para fora da integração em
e integrar term a term. O resultado
é um número razoável (positivo), como esperado já que a integranda é não negativa no retângulo.