Num livro de 800 páginas há 400 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 1 erro?
Passo 1
O enunciado dá que há
páginas e
erros de impressão no livro. Pergunta: qual a probabilidade de que uma página (escolhida qualquer) contenha pelo menos um erro? Informações relevantes: número total de páginas
; número total de erros
. Nada mais é pedido além dessa probabilidade.
Passo 2
Vamos pensar em como modelar a distribuição dos erros numa página específica. Supondo que cada erro é colocado de forma aleatória e independente entre as páginas (ou seja, cada erro tem igual chance de cair em qualquer uma das
páginas), então para uma página fixa cada erro tem probabilidade
de aparecer nela. Definimos a variável aleatória
como: número de erros nessa página fixa.
Passo 3
Com a modelagem acima,
conta quantas das
tentativas (erros) caem na página em questão, cada tentativa com probabilidade
de “sucesso” (cair na página). Isso é exatamente o cenário da distribuição binomial. Logo,
Explico rapidamente o que isso significa: a distribuição binomial com parâmetros
e
descreve o número de sucessos em
ensaios independentes, cada um com probabilidade
de sucesso. Aqui “ensaio” = cada erro; “sucesso” = erro cair na página fixa.
Passo 4
A pergunta pede a probabilidade de que a página contenha pelo menos um erro, isto é
. É mais fácil calcular o complementar
(nenhum erro na página) e subtrair de 1. Para a binomial,
Portanto
Passo 5
Agora vamos obter um valor numérico prático. Note que
é relativamente grande e
é pequeno; um truque muito usado é aproximar
por
quando
é pequeno e
não é pequeno, porque
Aqui
. Assim a boa aproximação é
Passo 6
O valor de
(eu já calculei a constante
mentalmente/uso a aproximação usual) é aproximadamente
. Portanto
Arredondando de forma prática,
, ou seja cerca de
.
Passo 7
Comentário prático (útil para prova): a expressão exata é
. A aproximação por Poisson dá o mesmo resultado porque a binomial com
grande e
pequeno tende a uma Poisson com parâmetro
. Aqui a Poisson teria
e
, mesmo número que usamos acima.