Num livro de 800 páginas há 400 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 1 erro?

Passo 1

O enunciado dá que há 800 páginas e 400 erros de impressão no livro. Pergunta: qual a probabilidade de que uma página (escolhida qualquer) contenha pelo menos um erro? Informações relevantes: número total de páginas =800; número total de erros =400. Nada mais é pedido além dessa probabilidade.

Passo 2

Vamos pensar em como modelar a distribuição dos erros numa página específica. Supondo que cada erro é colocado de forma aleatória e independente entre as páginas (ou seja, cada erro tem igual chance de cair em qualquer uma das 800 páginas), então para uma página fixa cada erro tem probabilidade 1/800 de aparecer nela. Definimos a variável aleatória X como: número de erros nessa página fixa.

Passo 3

Com a modelagem acima, X conta quantas das 400 tentativas (erros) caem na página em questão, cada tentativa com probabilidade 1/800 de “sucesso” (cair na página). Isso é exatamente o cenário da distribuição binomial. Logo,
X \sim \text{Bin}\bigl(n=400,\; p=\tfrac{1}{800}\bigr).
Explico rapidamente o que isso significa: a distribuição binomial com parâmetros n e p descreve o número de sucessos em n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de sucesso. Aqui “ensaio” = cada erro; “sucesso” = erro cair na página fixa.

Passo 4

A pergunta pede a probabilidade de que a página contenha pelo menos um erro, isto é P(X\ge 1). É mais fácil calcular o complementar P(X=0) (nenhum erro na página) e subtrair de 1. Para a binomial,
P(X=0)=(1-p)^{n}=\Bigl(1-\tfrac{1}{800}\Bigr)^{400}.
Portanto
P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-\Bigl(1-\tfrac{1}{800}\Bigr)^{400}.

Passo 5

Agora vamos obter um valor numérico prático. Note que n é relativamente grande e p é pequeno; um truque muito usado é aproximar (1-p)^n por e^{-np} quando p é pequeno e n não é pequeno, porque
\lim_{n\to\infty,\;p\to0,\;np=\lambda}(1-p)^n = e^{-\lambda}.
Aqui \lambda = np = 400\cdot \tfrac{1}{800}=\tfrac{400}{800}=\tfrac{1}{2}=0{,}5. Assim a boa aproximação é
\Bigl(1-\tfrac{1}{800}\Bigr)^{400}\approx e^{-0{,}5}.

Passo 6

O valor de e^{-0{,}5} (eu já calculei a constante e mentalmente/uso a aproximação usual) é aproximadamente 0{,}60653. Portanto
P(X\ge 1)\approx 1-e^{-0{,}5}\approx 1-0{,}60653=0{,}39347.
Arredondando de forma prática, P(X\ge 1)\approx 0{,}3935, ou seja cerca de 39{,}35\%.

Passo 7

Comentário prático (útil para prova): a expressão exata é 1-(799/800)^{400}. A aproximação por Poisson dá o mesmo resultado porque a binomial com n grande e p pequeno tende a uma Poisson com parâmetro \lambda=np. Aqui a Poisson teria \lambda=0{,}5 e P(X\ge1)=1-e^{-\lambda}, mesmo número que usamos acima.

Resposta

1-\left(\dfrac{799}{800}\right)^{400}\approx 0{,}3935

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