Livro: Teoria da Relatividade Especial,
Edição (R Grazielli), Capítulo 2, página 38, questão 2.4, resolva utilizando a TL.
As réguas
e
medem 1 m em seus referenciais de repouso.
régua
se desloca com velocidade
paralelamente a régua
. para um observador no referencial da régua
, qual é a posição relativa das extremidades de trás das réguas quando as extremidades coincidem? Para ele, quanto tempo leva a régua A para passar pela extremidade de trás da régua B ?
As réguas
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas réguas, A e B, cada uma medindo 1 metro no seu próprio referencial de repouso. A régua A está se movendo com uma velocidade de $ v = 0,5c $ (metade da velocidade da luz) paralelamente à régua B. Precisamos descobrir, para um observador que está no referencial da régua B:
- Qual é a posição relativa das extremidades de trás das réguas quando as extremidades coincidem?
- Quanto tempo leva para a régua A passar completamente pela régua B?
Para resolver isso, vamos usar conceitos da Teoria da Relatividade Especial, como a contração do comprimento e a dilatação do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a velocidade da régua A afeta a percepção de comprimento no referencial da régua B. De acordo com a relatividade especial, objetos em movimento sofrem uma contração de comprimento na direção do movimento. A fórmula para calcular o comprimento contraído é:
onde:
- $ L $ é o comprimento observado no referencial em movimento (réguas B),
- $ L_0 $ é o comprimento próprio (réguas A e B em repouso),
- $ v $ é a velocidade relativa,
- $ c $ é a velocidade da luz.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento da régua A no referencial da régua B.
Dados:
- $ L_0 = 1 $ m
- $ v = 0,5c $
Substituindo na fórmula:
Então, a régua A parece ter aproximadamente 0,866 metros de comprimento para o observador na régua B.
Passo 4
Agora, vamos determinar a posição relativa das extremidades de trás das réguas quando as extremidades coincidem. Quando as extremidades da frente das duas réguas coincidem, a extremidade de trás da régua A estará deslocada para trás em relação à régua B devido à contração do comprimento.
A distância entre as extremidades de trás será a diferença entre o comprimento próprio da régua B e o comprimento contraído da régua A:
Passo 5
Por fim, vamos calcular quanto tempo leva para a régua A passar completamente pela régua B. Para isso, usamos a relação entre o tempo, a distância e a velocidade:
onde:
- $ \Delta x $ é a distância que a régua A precisa percorrer para passar completamente pela régua B,
- $ v = 0,5c = 0,5 \times 3 \times 10^8 $ m/s = $ 1,5 \times 10^8 $ m/s.
Substituindo os valores:
Resposta
Quando as extremidades das frente das réguas coincidem, a extremidade de trás da régua A está 0,134 metros atrás da régua B. Além disso, leva aproximadamente $ 8,93 \times 10^{-10} $ segundos para a régua A passar completamente pela extremidade de trás da régua B para um observador no referencial da régua B.