Livro: Teoria da Relatividade Especial, 2^a Edição (R Grazielli), Capítulo 2, página 38, questão 2.5, resolva utilizando a TL.
A vida média do méson pi^+repouso é de 25 ns. Qual será a vida média desses mésons quando se movem com uma velocidade beta=0,75 e qual a distância percorrida por eles durante sua vida média?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A vida média do méson pi^+ em repouso é de 25 nanosegundos (ns). Queremos descobrir qual é essa vida média quando ele está se movendo a uma velocidade de beta = 0,75 (onde beta é a relação entre a velocidade do objeto e a velocidade da luz). Além disso, precisamos calcular qual a distância que esse méson percorre durante esse tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é a vida média de uma partícula. A vida média é o tempo que, em média, uma partícula leva para decair. No repouso, essa vida média é de 25 ns para o méson pi^+.

Passo 3

Quando uma partícula está se movendo a uma fração da velocidade da luz, o tempo que ela leva para decair parece aumentar para um observador externo. Isso é explicado pelo conceito de dilatação do tempo na Teoria da Relatividade Especial. A fórmula para a dilatação do tempo é:
t = gamma cdot t0
Onde:
  • t é o tempo dilatado (vida média em movimento),
  • t0 é o tempo próprio (vida média no repouso),
  • gamma é o fator de Lorentz, dado por:
gamma = 1raiz1 - beta^2

Passo 4

Vamos calcular o fator de Lorentz gamma para beta = 0,75.
gamma = 1raiz1 - (0,75)^2 = 1raiz1 - 0,5625 = 1raiz0,4375 approx 10,6614 approx 1,5119

Passo 5

Agora, vamos calcular a vida média no referencial em movimento usando a fórmula da dilatação do tempo.
t = gamma cdot t0 = 1,5119 cdot 25,ns approx 37,798,ns
Então, a vida média do méson pi^+ quando está se movendo a beta = 0,75 é aproximadamente 37,8 ns.

Passo 6

Para descobrir a distância percorrida pelo méson durante sua vida média em movimento, usamos a fórmula da distância:
d = v cdot t
Onde:
  • v é a velocidade do méson,
  • t é o tempo durante o qual ele está se movendo.
Sabemos que beta = vc = 0,75, ou seja, v = 0,75 cdot c, onde c é a velocidade da luz ( c approx 3 times 10^8,m/s).

Passo 7

Vamos calcular a velocidade v:
v = 0,75 cdot 3 times 10^8,m/s = 2,25 times 10^8,m/s
Agora, usamos o tempo dilatado que calculamos anteriormente (37,8 ns) para achar a distância:
d = 2,25 times 10^8,m/s cdot 37,8 times 10^-9,s = 8,505,metros

Resposta

A vida média do méson pi^+ quando se move a beta = 0,75 é aproximadamente 37,8 nanosegundos, e a distância percorrida durante esse tempo é de cerca de 8,505 metros.

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