Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos.
- Pede-se resolver a equação
. - Observação imediata sobre domínio: a função
só está definida para . Portanto só podemos procurar soluções em . - Pergunta clara: encontrar o(s) valor(es) real(is) de
que satisfazem a equação dentro do domínio .
Passo 2
Transformar a equação em uma função cujo zero vamos buscar e analisar comportamento básico.
- Defino a função
com domínio
. Resolver a equação é equivalente a achar
tal que
.
- Vamos estudar o sinal e monotonicidade de
para saber quantas soluções esperar: - Calculo a derivada:
- Para todo
temos e , então
Isso significa que é estritamente crescente em . Conclusão importante: a equação pode ter no máximo uma raiz em .
Passo 3
Verificação de existência de raiz (teorema do valor intermediário, buscando um intervalo onde o sinal muda).
- Comportamento quando
: enquanto . Logo quando . - Calculo valores pontuais para encontrar mudança de sinal:
- Para
:
Vou calcular numericamente valores mais úteis: - Para
(i.e. ): - Para
:
- Para
- Como
é contínua em e mudou de sinal entre e , pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em . - Como já mostramos que
é estritamente crescente, essa raiz é única em .
Passo 4
Escolha do método numérico para encontrar a raiz e por que.
- A equação é transcendental (contém
e um polinômio), não tem solução fechada elementar conhecida. - Métodos possíveis: bissecção (garante convergência simples), Newton-Raphson (rápido se tivermos derivada), secante, etc.
- Escolho Newton-Raphson porque:
- A derivada
está disponível e é simples; - O método converge rapidamente para esta função estritamente crescente quando a estimativa inicial está no intervalo que contém a raiz.
- A derivada
- Explico o método (fórmula):
Aqui
e
.
Passo 5
Escolher um chute inicial e fazer a primeira iteração (mostrar contas passo a passo).
-
Pelo item anterior sabemos que a raiz está entre
e . Um chute razoável é (perto do centro do intervalo). -
Calculo
e . - Primeiro
:
- Primeiro
- Depois
:
- Newton step:
Passo 6
Segunda iteração (refinamento) e verificação de convergência.
-
Avalio
e . Para maior simplicidade e segurança numérica, em vez de repetir com muita algebra aproximada faço uma verificação de sinal em vizinhança e refinamento por interpolação linear (método híbrido simples): já sabemos que é ligeiramente negativo e é ligeiramente positivo, então a raiz está entre e . - Valores calculados com boa aproximação:
- Fazendo interpolação linear entre esses dois pontos (uma forma simples de refinamento):
- Valores calculados com boa aproximação:
-
Para confirmar, calculo
aproximadamente:
que é praticamente zero dentro de precisão de
. Portanto a aproximação está convergida com boa precisão.
Passo 7
Interpretação final, unicidade e precisão.
- Concluímos que existe exatamente uma solução real da equação no domínio
, por monotonicidade de . - A solução única, obtida numericamente, é aproximadamente
. - Se precisar de mais casas decimais, bastaria continuar iterações de Newton ou usar uma calculadora/programa; com as iterações mostradas já alcançamos erro no nível de
(aproximadamente).