\ln x+(x+1)^{3}=0

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos.
  • Pede-se resolver a equação \ln x + (x+1)^{3} = 0.
  • Observação imediata sobre domínio: a função \ln x só está definida para x>0. Portanto só podemos procurar soluções em x>0.
  • Pergunta clara: encontrar o(s) valor(es) real(is) de x que satisfazem a equação dentro do domínio x>0.

Passo 2

Transformar a equação em uma função cujo zero vamos buscar e analisar comportamento básico.
  • Defino a função
f(x)=\ln x + (x+1)^{3},
com domínio x>0. Resolver a equação é equivalente a achar x>0 tal que f(x)=0.
  • Vamos estudar o sinal e monotonicidade de f para saber quantas soluções esperar:
    • Calculo a derivada:
    f'(x)=\frac{1}{x}+3(x+1)^{2}.
    • Para todo x>0 temos \dfrac{1}{x}>0 e 3(x+1)^{2}>0, então
    f'(x)>0\quad\text{para todo }x>0.Isso significa que f é estritamente crescente em (0,\infty). Conclusão importante: a equação pode ter no máximo uma raiz em (0,\infty).

Passo 3

Verificação de existência de raiz (teorema do valor intermediário, buscando um intervalo onde o sinal muda).
  • Comportamento quando x\to 0^{+}: \ln x \to -\infty enquanto (x+1)^{3}\to 1. Logo f(x)\to -\infty quando x\to0^{+}.
  • Calculo valores pontuais para encontrar mudança de sinal:
    • Para x=0,1:
    f(0,1)=\ln(0,1)+(1,1)^{3} \quad\text{(mas atenção: usar vírgula decimal)}.çãíVou calcular numericamente valores mais úteis:
    • Para x=0,1 (i.e. x=0{,}1): f(0{,}1)=\ln(0{,}1)+(1{,}1)^{3}\approx -2{,}302585 + 1{,}331 = -0{,}971585 <0.
    • Para x=0{,}2: f(0{,}2)=\ln(0{,}2)+(1{,}2)^{3}\approx -1{,}609438 + 1{,}728 = 0{,}118562>0.
  • Como f é contínua em (0,\infty) e mudou de sinal entre x=0{,}1 e x=0{,}2, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0{,}1,0{,}2).
  • Como já mostramos que f é estritamente crescente, essa raiz é única em (0,\infty).

Passo 4

Escolha do método numérico para encontrar a raiz e por que.
  • A equação é transcendental (contém \ln x e um polinômio), não tem solução fechada elementar conhecida.
  • Métodos possíveis: bissecção (garante convergência simples), Newton-Raphson (rápido se tivermos derivada), secante, etc.
  • Escolho Newton-Raphson porque:
    • A derivada f'(x) está disponível e é simples;
    • O método converge rapidamente para esta função estritamente crescente quando a estimativa inicial está no intervalo que contém a raiz.
  • Explico o método (fórmula):
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui f(x)=\ln x + (x+1)^{3} e f'(x)=\dfrac{1}{x}+3(x+1)^{2}.

Passo 5

Escolher um chute inicial e fazer a primeira iteração (mostrar contas passo a passo).
  • Pelo item anterior sabemos que a raiz está entre 0{,}1 e 0{,}2. Um chute razoável é x_{0}=0{,}185 (perto do centro do intervalo).
  • Calculo f(x_{0}) e f'(x_{0}).
    • Primeiro f(0{,}185):
    \ln(0{,}185)\approx -1{,}686399,\qquad (1{,}185)^{3}\approx 1{,}6640066,
f(0{,}185)\approx -1{,}686399 + 1{,}6640066 = -0{,}0223924.
  • Depois f'(0{,}185):
\frac{1}{0{,}185}\approx 5{,}405405,\qquad 3(1{,}185)^{2}=3\cdot1{,}404225\approx 4{,}212675,
f'(0{,}185)\approx 5{,}405405 + 4{,}212675 = 9{,}618080.
  • Newton step:
x_{1}=0{,}185 - \frac{-0{,}0223924}{9{,}618080}\approx 0{,}185 + 0{,}002328=0{,}187328.

Passo 6

Segunda iteração (refinamento) e verificação de convergência.
  • Avalio f(0{,}187328) e f'(0{,}187328). Para maior simplicidade e segurança numérica, em vez de repetir com muita algebra aproximada faço uma verificação de sinal em vizinhança e refinamento por interpolação linear (método híbrido simples): já sabemos que f(0{,}187) é ligeiramente negativo e f(0{,}188) é ligeiramente positivo, então a raiz está entre 0{,}187 e 0{,}188.
    • Valores calculados com boa aproximação: f(0{,}187)\approx -0{,}004199\quad\text{e}\quad f(0{,}188)\approx 0{,}005361.
    • Fazendo interpolação linear entre esses dois pontos (uma forma simples de refinamento): x\approx 0{,}187 + \frac{0{,}004199}{0{,}004199+0{,}005361}\cdot 0{,}001 \approx 0{,}187439.
  • Para confirmar, calculo f(0{,}187439) aproximadamente:
    \ln(0{,}187439)\approx -1{,}674307,\qquad (1{,}187439)^{3}\approx 1{,}674315,
f(0{,}187439)\approx -1{,}674307 + 1{,}674315 \approx 8\times10^{-6},
que é praticamente zero dentro de precisão de 10^{-6}. Portanto a aproximação está convergida com boa precisão.

Passo 7

Interpretação final, unicidade e precisão.
  • Concluímos que existe exatamente uma solução real da equação no domínio x>0, por monotonicidade de f.
  • A solução única, obtida numericamente, é aproximadamente x\approx0{,}18744.
  • Se precisar de mais casas decimais, bastaria continuar iterações de Newton ou usar uma calculadora/programa; com as iterações mostradas já alcançamos erro no nível de 10^{-6} (aproximadamente).

Resposta

x\approx0,18744

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