Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Precisa-se resolver a equação
para
real (ou seja, encontrar todas as soluções reais).
- Informação explícita dada: o lado esquerdo é uma função trigonométrica
e o lado direito é uma reta . - Objetivo: encontrar todos os valores de
que tornam as duas expressões iguais.
Passo 2
Reescrever como uma equação do tipo
e usar o fato básico sobre a função seno.
Defina
Então a equação original é
.
Lembrete importante (conceito): a função
satisfaz
. Multiplicando por
obtemos
Como na equação temos
, o lado direito também deve pertencer a
. Assim podemos obter um intervalo onde qualquer solução deve estar.
Passo 3
Determinar um intervalo onde todas as soluções precisam estar (uso do alcance do seno).
Da desigualdade
segue
Resolva as duas desigualdades:
- Da esquerda:
implica . - Da direita:
implica .
Portanto qualquer solução satisfaz
Isto é útil: reduziu-se a busca a um intervalo finito.
Passo 4
Estudar número de soluções possíveis (análise de monotonicidade e extremos).
Calcule a derivada de
:
Para achar pontos críticos, resolva
:
Isto ocorre quando
No intervalo
só uma dessas soluções cai nele: para
Agora veja o sinal de
:
- Para
próximo de temos (positivo). - Em
, . - Para
perto de temos (negativo).
Conclusão qualitativa: em
a função
aumenta até
(tem um máximo em
) e depois diminui. Então
tem formato de “colina” com um único extremum nesse intervalo. Assim
pode ter no máximo duas raízes nesse intervalo; para decidir quantas, avalie
nos extremos.
Calcule
nos extremos do intervalo:
Como
, obtemos
.
Como
, obtemos
.
Também calcule o valor no ponto crítico (o máximo):
Numericamente
e
, então
Interpretação (teorema do valor intermediário + forma da função):
e
sobe até um máximo positivo em
, portanto há uma raiz em algum ponto da subida. Depois
decresce mas permanece positivo em
; logo não há segunda raiz à direita. Portanto existe exatamente uma solução em
e, por consequência, exatamente uma solução real da equação original.
Ótimo: sabemos agora que a solução é única e está dentro de
. Vamos encontrá-la numericamente.
Passo 5
Escolher um método numérico e explicar (Newton).
Vou usar o método de Newton (rápido e apropriado quando sabemos
e
). A fórmula de Newton é: a partir de uma aproximação
,
Aqui
e
.
Antes de Newton, podemos achar um intervalo menor por avaliação simples: já vimos
e
, então há uma raiz em
. Tomaremos
como chute inicial (próximo do meio).
Passo 6
Executar iterações de Newton (contas detalhadas).
Avaliações iniciais (usar aproximações racionais/decimais com a vírgula):
- Para
: .
Newton:
- Para
: .
Use expansão linearizada parae em torno de para manter contas feitas “na prova” sem calculadora:
Então
Newton:
A correção em
é muito pequena (ordem
), então já atingimos precisão prática. Portanto a solução é
Passo 7
Interpretação final e dica para prova.
- Encontramos que existe uma e somente uma solução real.
- Método prático na prova: primeiro usar o alcance do seno para limitar
a ; depois achar um intervalo inicial por avaliações (por exemplo , ); então usar Newton (ou método da bisseção se preferir) para refinar a raiz até a precisão desejada. - Se usar bisseção, comece com
e faça algumas iterações; se usar Newton, escolha próximo (por exemplo ).