2 \sin (x-0.6)=1,5-x

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Precisa-se resolver a equação
2\sin(x-0,6)=1,5-x
para x real (ou seja, encontrar todas as soluções reais).
  • Informação explícita dada: o lado esquerdo é uma função trigonométrica 2\sin(x-0,6) e o lado direito é uma reta 1,5-x.
  • Objetivo: encontrar todos os valores de x que tornam as duas expressões iguais.

Passo 2

Reescrever como uma equação do tipo f(x)=0 e usar o fato básico sobre a função seno.
Defina
f(x)=2\sin(x-0,6)+x-1,5.
Então a equação original é f(x)=0.
Lembrete importante (conceito): a função \sin(\theta) satisfaz -1\le \sin(\theta)\le 1. Multiplicando por 2 obtemos
-2 \le 2\sin(x-0,6)\le 2.
Como na equação temos 2\sin(x-0,6)=1,5-x, o lado direito também deve pertencer a [-2,2]. Assim podemos obter um intervalo onde qualquer solução deve estar.

Passo 3

Determinar um intervalo onde todas as soluções precisam estar (uso do alcance do seno).
Da desigualdade -2\le 1,5-x\le 2 segue
-2\le 1,5-x \le 2
Resolva as duas desigualdades:
  • Da esquerda: -2 \le 1,5-x implica x \le 1,5+2 = 3,5.
  • Da direita: 1,5-x \le 2 implica x \ge 1,5-2 = -0,5.
Portanto qualquer solução satisfaz
-0,5 \le x \le 3,5.
Isto é útil: reduziu-se a busca a um intervalo finito.

Passo 4

Estudar número de soluções possíveis (análise de monotonicidade e extremos).
Calcule a derivada de f:
f'(x)=2\cos(x-0,6)+1.
Para achar pontos críticos, resolva f'(x)=0:
2\cos(x-0,6)+1=0 \quad\Rightarrow\quad \cos(x-0,6)=-\tfrac{1}{2}.
Isto ocorre quando
x-0,6 = \tfrac{2\pi}{3}+2k\pi \quad\text{ou}\quad x-0,6=\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [-0,5,\,3,5] só uma dessas soluções cai nele: para k=0
x_c = 0,6+\tfrac{2\pi}{3}\approx 2,694395.
Agora veja o sinal de f':
  • Para x<x_c próximo de -0,5 temos f'(-0,5)=2\cos(-1,1)+1>0 (positivo).
  • Em x=x_c, f'=0.
  • Para x>x_c perto de 3 temos f'(3)=2\cos(2,4)+1<0 (negativo).
Conclusão qualitativa: em [-0,5,\,3,5] a função f aumenta até x_c (tem um máximo em x_c) e depois diminui. Então f tem formato de “colina” com um único extremum nesse intervalo. Assim f pode ter no máximo duas raízes nesse intervalo; para decidir quantas, avalie f nos extremos.
Calcule f nos extremos do intervalo:
f(-0,5)=2\sin(-1,1)-0,5-1,5=2\sin(-1,1)-2.
Como \sin(1,1)\approx 0,8910, obtemos f(-0,5)\approx -3,782<0.
f(3,5)=2\sin(2,9)+3,5-1,5=2\sin(2,9)+2.
Como \sin(2,9)\approx 0,2393, obtemos f(3,5)\approx 2,478>0.
Também calcule o valor no ponto crítico (o máximo):
f(x_c)=2\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)+x_c-1,5 =2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + x_c -1,5 = \sqrt{3} + x_c -1,5.
Numericamente \sqrt{3}\approx 1,73205 e x_c\approx 2,694395, então
f(x_c)\approx 1,73205 + 2,694395 -1,5 \approx 2,9264>0.
Interpretação (teorema do valor intermediário + forma da função): f(-0,5)<0 e f sobe até um máximo positivo em x_c, portanto há uma raiz em algum ponto da subida. Depois f decresce mas permanece positivo em x=3,5; logo não há segunda raiz à direita. Portanto existe exatamente uma solução em [-0,5,\,3,5] e, por consequência, exatamente uma solução real da equação original.
Ótimo: sabemos agora que a solução é única e está dentro de [-0,5,3,5]. Vamos encontrá-la numericamente.

Passo 5

Escolher um método numérico e explicar (Newton).
Vou usar o método de Newton (rápido e apropriado quando sabemos f e f'). A fórmula de Newton é: a partir de uma aproximação x_n,
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f(x)=2\sin(x-0,6)+x-1,5 e f'(x)=2\cos(x-0,6)+1.
Antes de Newton, podemos achar um intervalo menor por avaliação simples: já vimos f(0)<0 e f(1)>0, então há uma raiz em (0,1). Tomaremos x_0=0,9 como chute inicial (próximo do meio).

Passo 6

Executar iterações de Newton (contas detalhadas).
Avaliações iniciais (usar aproximações racionais/decimais com a vírgula):
  • Para x_0=0,9: t_0=x_0-0,6=0,3. \sin(0,3)\approx 0,295520,\qquad \cos(0,3)\approx 0,955336.
f(x_0)=2\cdot 0,295520 + 0,9 -1,5 \approx -0,0089596.
f'(x_0)=2\cdot 0,955336 +1 \approx 2,910672.
Newton:
x_1 = 0,9 - \frac{-0,0089596}{2,910672}\approx 0,903079.
  • Para x_1\approx 0,903079: t_1=x_1-0,6\approx 0,303079.
    Use expansão linearizada para \sin e \cos em torno de 0,3 para manter contas feitas “na prova” sem calculadora: \sin(0,303079)\approx \sin(0,3)+\cos(0,3)\cdot 0,003079 \approx 0,295520 + 0,955336\cdot 0,003079 \approx 0,2984597.
\cos(0,303079)\approx \cos(0,3)-\sin(0,3)\cdot 0,003079 \approx 0,955336 - 0,295520\cdot 0,003079 \approx 0,954428.
Então
f(x_1)\approx 2\cdot 0,2984597 + 0,903079 -1,5 \approx -1,6\times 10^{-6}\\ (\text{próximo de zero}),ó
f'(x_1)\approx 2\cdot 0,954428 +1 \approx 2,908856.
Newton:
x_2 \approx 0,903079 - \frac{-1{,}6\times 10^{-6}}{2{,}908856}\approx 0,9030796.
A correção em x_2 é muito pequena (ordem 10^{-7}), então já atingimos precisão prática. Portanto a solução é
x\approx 0,9030796.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova.
  • Encontramos que existe uma e somente uma solução real.
  • Método prático na prova: primeiro usar o alcance do seno para limitar x a [-0,5,3,5]; depois achar um intervalo inicial por avaliações (por exemplo f(0)<0, f(1)>0); então usar Newton (ou método da bisseção se preferir) para refinar a raiz até a precisão desejada.
  • Se usar bisseção, comece com [0,1] e faça algumas iterações; se usar Newton, escolha x_0 próximo (por exemplo 0,9).

Resposta

x\approx 0,903080

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