Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
(procuramos as soluções reais). - O lado esquerdo é uma função trigonométrica
aplicada a . - O lado direito é uma função afim
.
Pergunta clara: encontrar todos os
que satisfazem a igualdade acima.
Passo 2
Para simplificar a notação, faço a substituição
Assim
e a equação fica
Simplificando o lado direito:
Logo a equação equivalente é
Defino a função
Resolver a equação original equivale a achar
tal que
, e depois recuperar
.
Passo 3
Antes de tentar calcular, uso limites óbvios para localizar a solução:
como sempre satisfaz
, precisa ocorrer
como
Vou resolver essas desigualdades para
.
Primeiro, implica
Primeiro,
Segundo,
implica
Portanto qualquer solução
deve satisfazer
Isso já reduz muito onde procurar.
Passo 4
Vou estudar monotonicidade de
para saber se há várias raízes ou apenas uma. Calculo a derivada:
Como
para todo
, segue que
Em particular
para todo
. Conclusão:
é estritamente decrescente em
. Logo
só pode ter, no máximo, uma raiz. Como já temos um intervalo finito onde a raiz deve ficar (
a
), isso garante existência de no máximo uma solução real dentro desse intervalo — e se
muda de sinal nas extremidades então existe exatamente uma raiz.
Passo 5
Vou verificar o sinal de
nas extremidades do intervalo para confirmar a existência única e depois encontrar a raiz numericamente (método confiável: bisseção; para acelerar, uso depois Newton com boa aproximação).
Calculo e
. Uso aproximações conhecidas para
(essas aproximações podem ser obtidas por tabela ou calculadora; aqui dou valores com erro muito pequeno).
Calculo
- Para
:
Então
- Para
:
Então
Como
e
e
é contínua, existe exatamente uma raiz em
. Agora vamos aproximá‑la com precisão.
Passo 6
Bisseção: inicio a divisão do intervalo até obter um intervalo pequeno. Vou mostrar alguns passos principais (vou arredondar valores de
a 6–7 dígitos para clareza).
-
(meio de e ):
Logo raiz em
.
-
:
Raiz em
.
-
:
Raiz em
.
-
:
Raiz em
.
-
:
Raiz em
.
-
:
Agora a raiz está em
.
-
(meio):
Raiz em
.
-
:
Raiz em
.
-
:
Raiz em
.
-
: (meio de e )
Aqui os valores já estão muito próximos de zero; por interpolação linear rápida entree obtemos uma raiz aproximada
Depois desses passos o intervalo de incerteza tem largura menor que
; isso já dá uma boa aproximação de
. Para melhorar ainda mais, passo a um método de Newton (mais rápido) usando
.
Passo 7
Método de Newton (uma iteração ou duas bastam quando a aproximação inicial é boa).
Recordando, Newton atualiza por
com
e
.
Tomando
:
- calculei (aproximadamente)
, - calculei
, - então
, - e
.
Aplicando Newton:
A correção foi da ordem
, logo a raiz está bem determinada:
(com erro muito pequeno).
Passo 8
Volto à variável original
:
Portanto há exatamente uma solução real e ela é aproximadamente
.
Observação pedagógica rápida: mostramos que a função associada é estritamente decrescente (logo raiz única) e usamos bisseção para garantir intervalo contendo a raiz, depois Newton para refinar rapidamente. Esse é um caminho padrão em prova: justificar unicidade (derivada) e então dar aproximação numérica (bisseção/ Newton).