\sin (0,5+x)=2 x-0,5

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
\sin(0,5+x)=2x-0,5.
Informações dadas:
  • A incógnita é x (procuramos as soluções reais).
  • O lado esquerdo é uma função trigonométrica \sin aplicada a 0,5+x.
  • O lado direito é uma função afim 2x-0,5.
Pergunta clara: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a igualdade acima.

Passo 2

Para simplificar a notação, faço a substituição
y = 0,5 + x.
Assim x = y - 0,5 e a equação fica
\sin y = 2(y-0,5)-0,5.
Simplificando o lado direito:
2(y-0,5)-0,5 = 2y-1-0,5 = 2y-1,5.
Logo a equação equivalente é
\sin y = 2y - 1,5.
Defino a função
f(y) = \sin y - 2y + 1,5.
Resolver a equação original equivale a achar y tal que f(y)=0, e depois recuperar x = y - 0,5.

Passo 3

Antes de tentar calcular, uso limites óbvios para localizar a solução:
como \sin y sempre satisfaz -1 \le \sin y \le 1, precisa ocorrer
-1 \le 2y-1,5 \le 1.
Vou resolver essas desigualdades para y.
Primeiro, -1 \le 2y-1,5 implica
-1 + 1,5 \le 2y \quad\Rightarrow\quad 0,5 \le 2y \quad\Rightarrow\quad 0,25 \le y.
Segundo, 2y-1,5 \le 1 implica
2y \le 2{,}5 \quad\Rightarrow\quad y \le 1{,}25.
Portanto qualquer solução y deve satisfazer
0{,}25 \le y \le 1{,}25.
Isso já reduz muito onde procurar.

Passo 4

Vou estudar monotonicidade de f para saber se há várias raízes ou apenas uma. Calculo a derivada:
f'(y) = \cos y - 2.
Como \cos y\in[-1,1] para todo y, segue que
f'(y) \le 1 - 2 = -1 \quad\text{e}\quad f'(y) \ge -1 - 2 = -3.
Em particular f'(y)<0 para todo y. Conclusão: f é estritamente decrescente em \mathbb{R}. Logo f só pode ter, no máximo, uma raiz. Como já temos um intervalo finito onde a raiz deve ficar ( 0{,}25 a 1{,}25), isso garante existência de no máximo uma solução real dentro desse intervalo — e se f muda de sinal nas extremidades então existe exatamente uma raiz.

Passo 5

Vou verificar o sinal de f nas extremidades do intervalo para confirmar a existência única e depois encontrar a raiz numericamente (método confiável: bisseção; para acelerar, uso depois Newton com boa aproximação).
Calculo f(0{,}25) e f(1{,}25). Uso aproximações conhecidas para \sin (essas aproximações podem ser obtidas por tabela ou calculadora; aqui dou valores com erro muito pequeno).
  • Para y=0{,}25:
\sin 0{,}25 \approx 0{,}2474039.
Então
f(0{,}25)=\sin 0{,}25 -2\cdot 0{,}25 +1{,}5 \approx 0{,}2474039 -0{,}5 +1{,}5 = 1{,}2474039>0.
  • Para y=1{,}25:
\sin 1{,}25 \approx 0{,}9489846.
Então
f(1{,}25)=\sin 1{,}25 -2\cdot 1{,}25 +1{,}5 \approx 0{,}9489846 -2{,}5 +1{,}5 = -0{,}0510154<0.
Como f(0{,}25)>0 e f(1{,}25)<0 e f é contínua, existe exatamente uma raiz em [0{,}25,1{,}25]. Agora vamos aproximá‑la com precisão.

Passo 6

Bisseção: inicio a divisão do intervalo até obter um intervalo pequeno. Vou mostrar alguns passos principais (vou arredondar valores de \sin a 6–7 dígitos para clareza).
  1. y_1 = 0{,}75 (meio de 0{,}25 e 1{,}25):
\sin 0{,}75 \approx 0{,}6816388,\qquad f(0{,}75)=0{,}6816388 -1{,}5 +1{,}5 =0{,}6816388>0.
Logo raiz em [0{,}75,1{,}25].
  1. y_2 = 1{,}0:
\sin 1{,}0 \approx 0{,}8414710,\qquad f(1{,}0)=0{,}8414710 -2 +1{,}5 =0{,}3414710>0.
Raiz em [1{,}0,1{,}25].
  1. y_3 = 1{,}125:
\sin 1{,}125 \approx 0{,}9017883,\qquad f(1{,}125)=0{,}9017883 -2{,}25 +1{,}5 =0{,}1517883>0.
Raiz em [1{,}125,1{,}25].
  1. y_4 = 1{,}1875:
\sin 1{,}1875 \approx 0{,}9273380,\qquad f(1{,}1875)=0{,}9273380 -2{,}375 +1{,}5 =0{,}0523380>0.
Raiz em [1{,}1875,1{,}25].
  1. y_5 = 1{,}21875:
\sin 1{,}21875 \approx 0{,}9386640,\qquad f(1{,}21875)=0{,}9386640 -2{,}4375 +1{,}5 =0{,}0011640>0.
Raiz em [1{,}21875,1{,}25].
  1. y_6 = 1{,}234375:
\sin 1{,}234375 \approx 0{,}9439380,\qquad f(1{,}234375)=0{,}9439380 -2{,}46875 +1{,}5 =-0{,}0248120<0.
Agora a raiz está em [1{,}21875,1{,}234375].
  1. y_7 = 1{,}2265625 (meio):
\sin 1{,}2265625 \approx 0{,}9413250,\qquad f(1{,}2265625)\approx -0{,}0118000<0.
Raiz em [1{,}21875,1{,}2265625].
  1. y_8 = 1{,}22265625:
\sin 1{,}22265625 \approx 0{,}9400050,\qquad f(1{,}22265625)\approx -0{,}0053075<0.
Raiz em [1{,}21875,1{,}22265625].
  1. y_9 = 1{,}220703125:
\sin 1{,}220703125 \approx 0{,}9393270,\qquad f(1{,}220703125)\approx -0{,}0020793<0.
Raiz em [1{,}21875,1{,}220703125].
  1. y_{10} = 1{,}2197265625: (meio de 1{,}21875 e 1{,}220703125)
    Aqui os valores já estão muito próximos de zero; por interpolação linear rápida entre f(1{,}21875)\approx 0{,}001164 e f(1{,}220703125)\approx -0{,}002079 obtemos uma raiz aproximada
y \approx 1{,}21945.
Depois desses passos o intervalo de incerteza tem largura menor que 0{,}002; isso já dá uma boa aproximação de y. Para melhorar ainda mais, passo a um método de Newton (mais rápido) usando y_0=1{,}21945.

Passo 7

Método de Newton (uma iteração ou duas bastam quando a aproximação inicial é boa).
Recordando, Newton atualiza por
y_{n+1} = y_n - \frac{f(y_n)}{f'(y_n)},
com f(y)=\sin y - 2y + 1{,}5 e f'(y)=\cos y - 2.
Tomando y_0 = 1{,}21945:
  • calculei (aproximadamente) \sin 1{,}21945 \approx 0{,}938869,
  • calculei \cos 1{,}21945 \approx 0{,}344142,
  • então f(1{,}21945)\approx 0{,}938869 - 2\cdot 1{,}21945 + 1{,}5 \approx -0{,}000031,
  • e f'(1{,}21945)\approx 0{,}344142 - 2 = -1{,}655858.
Aplicando Newton:
y_1 \approx 1{,}21945 - \frac{-0{,}000031}{-1{,}655858} \approx 1{,}21943.
A correção foi da ordem 10^{-5}, logo a raiz está bem determinada: y\approx 1{,}21943 (com erro muito pequeno).

Passo 8

Volto à variável original x:
x = y - 0{,}5 \approx 1{,}21943 - 0{,}5 = 0{,}71943.
Portanto há exatamente uma solução real e ela é aproximadamente x\approx 0{,}71943.
Observação pedagógica rápida: mostramos que a função associada é estritamente decrescente (logo raiz única) e usamos bisseção para garantir intervalo contendo a raiz, depois Newton para refinar rapidamente. Esse é um caminho padrão em prova: justificar unicidade (derivada) e então dar aproximação numérica (bisseção/ Newton).

Resposta

x \approx 0{,}71943

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