Uma loja de instrumentos musicais vende um violão Eagles por $1.899,00 à vista. Como opção, esse bem pode ser pago em duas parcelas mensais e iguais, vencíveis em 3 e 4 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 24 \%a.a., qual será o valor dos pagamentos, considerando data focal zero e critério de desconto racional simples? R: $ 1.015,88

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o valor de cada prestação:
\text{Preço à vista} = R\$\,1.899,00çà
\text{Pagamentos: duas parcelas mensais e iguais, vencendo em 3 e 4 meses}
\text{Taxa de juros (corrente)} = 24\% \text{ a.a.}
\text{Data focal: zero (ou seja, queremos equivalência no instante } t=0\text{)}ê
\text{Critério: desconto racional simples}é
A pergunta é: qual o valor de cada prestação (iguais) que, descontadas racionalmente até t=0, têm valor presente total igual a R\$\,1.899,00?

Passo 2

Explicando o que é “desconto racional simples” de forma direta e didática:
  • Se uma quantia futura F vence no instante t (em anos) e a taxa simples anual é i, o seu valor presente racional (ou desconto racional simples) é dado por
PV=\frac{F}{1+i\,t}.
  • Aqui i é a taxa anual em forma decimal (por exemplo, 24\% vira i=0{,}24) e t é o tempo em anos. A razão é que estamos “trazendo” o valor futuro ao presente usando a mesma fórmula da capitalização simples, invertida (por isso chamam de racional).

Passo 3

Converter meses para anos (porque a taxa é a.a.):
3\\ \text{meses}=\frac{3}{12}=0{,}25\\ \text{ano}, \qquad 4\\ \text{meses}=\frac{4}{12}=0{,}333\ldots\\ \text{ano}.
Vamos usar i=0{,}24.

Passo 4

Seja X o valor de cada parcela (são duas parcelas iguais). O valor presente no instante 0 das duas parcelas é
PV=\frac{X}{1+i\cdot 0{,}25}+\frac{X}{1+i\cdot\frac{4}{12}}.
Como o preço à vista (valor presente exigido) é R\$\,1.899,00, temos a equação
\frac{X}{1+0{,}24\cdot 0{,}25}+\frac{X}{1+0{,}24\cdot\frac{4}{12}}=1{,}899.

Passo 5

Calcular os denominadores numericamente:
1+0{,}24\cdot 0{,}25=1+0{,}06=1{,}06,
1+0{,}24\cdot\frac{4}{12}=1+0{,}24\cdot 0{,}333\ldots=1+0{,}08=1{,}08.
Portanto a equação vira
\frac{X}{1{,}06}+\frac{X}{1{,}08}=1{,}899.

Passo 6

Somando as frações:
\frac{X}{1{,}06}+\frac{X}{1{,}08}=X\left(\frac{1}{1{,}06}+\frac{1}{1{,}08}\right).
Podemos somar explicitamente:
\frac{1}{1{,}06}+\frac{1}{1{,}08}=\frac{1{,}08+1{,}06}{1{,}06\cdot 1{,}08}=\frac{2{,}14}{1{,}1448}\approx 1{,}869322152.

Passo 7

Isolando X:
X=\frac{1{,}899}{\dfrac{1}{1{,}06}+\dfrac{1}{1{,}08}}=\frac{1{,}899}{1{,}869322152}\approx 1{,}015{,}882\ldots
Arredondando para centavos (duas casas decimais), obtemos
X\approx R\$\,1.015{,}88.

Passo 8

Verificação rápida: calcular o valor presente das duas parcelas com X=R\$\,1.015{,}88:
\frac{1{,}015{,}88}{1{,}06}\approx 958{,}49,\qquad \frac{1{,}015{,}88}{1{,}08}\approx 940{,}51,
soma \approx 1{,}899{,}00, que é o preço à vista pedido — portanto está consistente.

Resposta

R\$\,1.015{,}88

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