Uma loja de produtos de informática resolveu fazer uma pesquisa com seus clientes adolescentes para saber a idade da maioria deles. Para tanto, selecionou uma amostra de 25 clientes, sendo as idades mostradas abaixo. Dito isso:
I. construa a tabela de distribuição de frequência \mathrm{f}, \mathrm{fr}(\%), \mathrm{Fa} e \mathrm{FRa}(\%).
II. construa um histograma da distribuição de frequência
Idades dos clientes (em anos)
12 13 14 15 14
13 12 15 16 16
14 13 13 12 13
13 14 14 13 14
12 14 15 14 12

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claramente:
  1. Construir a tabela de distribuição de frequência contendo: f (frequência absoluta), fr(\%) (frequência relativa em porcentagem), Fa (frequência acumulada) e FRa(\%) (frequência relativa acumulada em porcentagem).
  2. Construir o histograma da distribuição de frequência.
As idades observadas na amostra de 25 clientes são (copiei do enunciado):
\;12,\;13,\;14,\;15,\;14,\;13,\;12,\;15,\;16,\;16,\;14,\;13,\;13,\;12,\;13,\;13,\;14,\;14,\;13,\;14,\;12,\;14,\;15,\;14,\;12.
O tamanho da amostra é \;n=25.

Passo 2

Primeiro vamos fixar o significado e as fórmulas que vamos usar (isso é importante para você entender e poder repetir na prova):
  • Frequência absoluta: f é o número de observações que têm um certo valor (ex.: quantos têm idade \;12). Não precisa de fórmula complicada — é contar.
  • Frequência relativa em porcentagem: fr(\%) mede a fração do total que cada classe/valor representa, em percentual. Fórmula:
fr(\%)=\frac{f}{n}\cdot 100
onde f é a frequência absoluta e n é o tamanho total da amostra. Ex.: se f=5 e n=25, então fr(\%)=\dfrac{5}{25}\cdot 100=20\%.
  • Frequência acumulada: Fa é a soma das frequências desde o menor valor até o valor corrente. Se os valores ordenados são x_1<x_2<\dots, então
Fa(x_k)=\sum_{i=1}^{k} f(x_i).
  • Frequência relativa acumulada em porcentagem: FRa(\%) é a fração acumulada em percentual:
FRa(\%)=\frac{Fa}{n}\cdot 100.
Guarde essas fórmulas; na prova, escreva-as rapidamente antes de calcular — ajuda a não errar.

Passo 3

Agora vamos contar as ocorrências de cada idade (eu vou fazer um passo a passo bem claro para você poder repetir). Primeiro identifique todos os valores distintos: \;12,\;13,\;14,\;15,\;16.
Contagem:
  • Para \;12: conto nas observações e encontro 5 ocorrências. Logo f(12)=5.
  • Para \;13: conto e encontro 7 ocorrências. Logo f(13)=7.
  • Para \;14: conto e encontro 8 ocorrências. Logo f(14)=8.
  • Para \;15: conto e encontro 3 ocorrências. Logo f(15)=3.
  • Para \;16: conto e encontro 2 ocorrências. Logo f(16)=2.
Verificação rápida: \;5+7+8+3+2=25=n, correto. Boa prática: sempre some as frequências para checar.

Passo 4

Agora calculamos as frequências relativas em porcentagem usando fr(\%)=\dfrac{f}{n}\cdot100. Vou mostrar cada cálculo e o resultado em porcentagem:
  • Para \;12: fr(\%)=\dfrac{5}{25}\cdot100 = 0,2\cdot100 = 20\%. Escrevemos fr_{12}=20\%.
  • Para \;13: fr(\%)=\dfrac{7}{25}\cdot100 = 0,28\cdot100 = 28\%. Escrevemos fr_{13}=28\%.
  • Para \;14: fr(\%)=\dfrac{8}{25}\cdot100 = 0,32\cdot100 = 32\%. Escrevemos fr_{14}=32\%.
  • Para \;15: fr(\%)=\dfrac{3}{25}\cdot100 = 0,12\cdot100 = 12\%. Escrevemos fr_{15}=12\%.
  • Para \;16: fr(\%)=\dfrac{2}{25}\cdot100 = 0,08\cdot100 = 8\%. Escrevemos fr_{16}=8\%.
Checagem: 20\%+28\%+32\%+12\%+8\%=100\%. Ótimo — as porcentagens fecham.

Passo 5

Cálculo das frequências acumuladas Fa e das frequências relativas acumuladas FRa(\%). Para isso somamos as frequências em ordem crescente das idades:
  • Para a menor idade \;12: Fa(12)=f(12)=5. Então FRa(12)=\dfrac{5}{25}\cdot100=20\%.
  • Para \;13: Fa(13)=f(12)+f(13)=5+7=12. Então FRa(13)=\dfrac{12}{25}\cdot100=48\%.
  • Para \;14: Fa(14)=12+8=20. Então FRa(14)=\dfrac{20}{25}\cdot100=80\%.
  • Para \;15: Fa(15)=20+3=23. Então FRa(15)=\dfrac{23}{25}\cdot100=92\%.
  • Para \;16: Fa(16)=23+2=25. Então FRa(16)=\dfrac{25}{25}\cdot100=100\%.
Verifique sempre que a última Fa é n e a última FRa é 100\%.

Passo 6

Agora organizo tudo numa tabela clara (cada número é mostrado exatamente como você deve apresentar):
Idade \;12: f=5, fr(\%)=20\%, Fa=5, FRa(\%)=20\%.
Idade \;13: f=7, fr(\%)=28\%, Fa=12, FRa(\%)=48\%.
Idade \;14: f=8, fr(\%)=32\%, Fa=20, FRa(\%)=80\%.
Idade \;15: f=3, fr(\%)=12\%, Fa=23, FRa(\%)=92\%.
Idade \;16: f=2, fr(\%)=8\%, Fa=25, FRa(\%)=100\%.
Dica prática para prova: escreva a coluna das idades, depois a coluna f contando; em seguida faça a coluna Fa como soma acumulada e, por último, calcule fr(\%) e FRa(\%) usando as fórmulas — assim você reduz erros.

Passo 7

Construção do histograma (passo a passo e desenho em texto para você entender e poder reproduzir):
  • Decida o eixo horizontal (idades) e o eixo vertical (frequência absoluta f). Como as idades são discretas \;12 a \;16, cada barra corresponde a uma idade e tem largura igual (classe de tamanho 1 ano).
  • A altura de cada barra é a frequência absoluta f: para \;12 altura 5, para \;13 altura 7, etc.
  • Marque eixo vertical com escala que inclua até 8 (a maior frequência). Por exemplo marque 0, 1, 2, …, 8.
  • Coloque barras centradas em \;12,\;13,\;14,\;15,\;16. Em histogramas de dados discretos às vezes se usa barra com pequenas separações; o importante é que a área (aqui proporcional à altura) represente a frequência.
Desenho textual (cada símbolo \# representa 1 cliente; eu mostro entre parênteses a frequência numérica):
\;12:\quad \#\#\#\#\# \;(5)
\;13:\quad \#\#\#\#\#\#\# \;(7)
\;14:\quad \#\#\#\#\#\#\#\# \;(8)
\;15:\quad \#\#\# \;(3)
\;16:\quad \#\# \;(2)
Se você desenhar à mão: no papel quadriculado, faça cinco barras com essas alturas, rotule no eixo horizontal as idades e no vertical as frequências; escreva em cima de cada barra o valor de f para ficar fácil de ler.

Resposta

I. Idade 12: f=5, fr(\%)=20\%, Fa=5, FRa(\%)=20\%; Idade 13: f=7, fr(\%)=28\%, Fa=12, FRa(\%)=48\%; Idade 14: f=8, fr(\%)=32\%, Fa=20, FRa(\%)=80\%; Idade 15: f=3, fr(\%)=12\%, Fa=23, FRa(\%)=92\%; Idade 16: f=2, fr(\%)=8\%, Fa=25, FRa(\%)=100\%.
II. Histograma (representação com 1 símbolo \# = 1 cliente):
\;12:\; \#\#\#\#\#\;(5)
\;13:\; \#\#\#\#\#\#\#\;(7)
\;14:\; \#\#\#\#\#\#\#\#\;(8)
\;15:\; \#\#\#\;(3)
\;16:\; \#\#\;(2)

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