A partir da observação das notas de 30 alunos em uma prova, construa uma Tabela de Distribuição de Frequência com 4 classes
\begin{aligned} X: & 3 ; 4 ; 2,5 ; 4 ; 4,5 ; 6 ; 5 ; 5,5 ; 6,5 ; 7 \\\ & 7,5 ; 2 ; 3,5 ; 5 ; 5,5 ; 8 ; 8,5 ; 7,5 ; 9 ; 9,5 \\\ & 5 ; 5,5 ; 4,5 ; 4 ; 7,5 ; 6,5 ; 5 ; 6 ; 6,5 ; 6 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que eu construa uma Tabela de Distribuição de Frequência com 4 classes a partir das observações das notas de 30 alunos. Os dados fornecidos são (copiado do enunciado):
\begin{aligned} X: & 3 ; 4 ; 2,5 ; 4 ; 4,5 ; 6 ; 5 ; 5,5 ; 6,5 ; 7 \\\ & 7,5 ; 2 ; 3,5 ; 5 ; 5,5 ; 8 ; 8,5 ; 7,5 ; 9 ; 9,5 \\\ & 5 ; 5,5 ; 4,5 ; 4 ; 7,5 ; 6,5 ; 5 ; 6 ; 6,5 ; 6 \end{aligned}
Informações relevantes extraídas do enunciado que vou usar:
  • Número total de observações: n=30.
  • Deve haver exatamente 4 classes na distribuição.

Passo 2

Primeiro eu preciso saber a amplitude dos dados (o alcance entre o menor e o maior valor), porque isso orienta o tamanho das classes.
  • Menor valor observado (mínimo): observando os dados temos \min X=2.
  • Maior valor observado (máximo): observando os dados temos \max X=9,5.
A amplitude (range) é a diferença entre máximo e mínimo:
\text{Amplitude} = \max X - \min X = 9,5 - 2 = 7,5.

Passo 3

Agora calculo a largura teórica da classe ( h) dividindo a amplitude pelo número de classes k=4:
h = \frac{\text{Amplitude}}{k} = \frac{7,5}{4} = 1,875.
Na prática, é comum arredondar h para um número conveniente (usando normalmente arredondamento para cima) para evitar limites de classe com muitas casas decimais e para que as classes cubram de forma limpa os dados. Vou escolher
h = 2,
porque é o arredondamento para cima de 1,875, facilita os intervalos e garante cobertura dos dados. Essa escolha é justificada por ser padrão arredondar para cima quando a largura exata não é prática.

Passo 4

Com h=2 e começando pelo menor valor \min X=2, crio 4 classes adjacentes de largura 2. Vou usar intervalos do tipo fechado à esquerda e aberto à direita (notação [a,b)), que é uma convenção prática e evita dupla contagem em pontos de fronteira. As classes ficam:
[2,4),\quad [4,6),\quad [6,8),\quad [8,10).
Observação: a última classe vai até 10 (exclusivo à direita), o que cobre o maior valor 9,5.

Passo 5

Para contar quantas observações caem em cada classe, primeiro faço uma contagem por valores individuais (extraída diretamente dos dados). A contagem por valor distinto (tirei-a do conjunto de dados dado) é:
\begin{aligned} &2:1,\quad 2,5:1,\quad 3:1,\quad 3,5:1,\\\ &4:3,\quad 4,5:2,\quad 5:4,\quad 5,5:3,\\\ &6:3,\quad 6,5:3,\quad 7:1,\quad 7,5:3,\\\ &8:1,\quad 8,5:1,\quad 9:1,\quad 9,5:1. \end{aligned}
(Verifiquei essas contagens somando todas as ocorrências nos dados originais; o total é 30.)

Passo 6

Com essa contagem por valor, aloco cada valor à sua classe e somo as frequências para obter a frequência absoluta f_i de cada classe:
  • Classe [2,4): inclui 2,\;2,5,\;3,\;3,5.
    f_1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.
  • Classe [4,6): inclui 4,\;4,5,\;5,\;5,5.
    f_2 = 3 + 2 + 4 + 3 = 12.
  • Classe [6,8): inclui 6,\;6,5,\;7,\;7,5.
    f_3 = 3 + 3 + 1 + 3 = 10.
  • Classe [8,10): inclui 8,\;8,5,\;9,\;9,5.
    f_4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.
Confirmação: f_1+f_2+f_3+f_4 = 4+12+10+4 = 30 = n, portanto a contagem está consistente.

Passo 7

Agora calculo as frequências relativas ( f_i/n), as percentagens e as frequências acumuladas F_i:
  • Para [2,4):
    f_1 = 4,\quad \frac{f_1}{n}=\frac{4}{30}=0,1333\approx 13,33\%,\quad F_1=4.
  • Para [4,6):
    f_2 = 12,\quad \frac{f_2}{n}=\frac{12}{30}=0,4=40\%,\quad F_2=4+12=16.
  • Para [6,8):
    f_3 = 10,\quad \frac{f_3}{n}=\frac{10}{30}=0,3333\approx 33,33\%,\quad F_3=16+10=26.
  • Para [8,10):
    f_4 = 4,\quad \frac{f_4}{n}=\frac{4}{30}=0,1333\approx 13,33\%,\quad F_4=26+4=30.
Também é útil calcular os pontos médios das classes (para usos posteriores, como estimar média a partir da classe):
\text{ponto médio } x_i = 3,\;5,\;7,\;9\\ \text{respectivamente}.é

Passo 8

Pronto — já tenho todos os elementos necessários para montar a Tabela de Distribuição de Frequência com 4 classes: limites das classes, frequências f_i, frequências acumuladas F_i, frequências relativas e percentuais, e pontos médios.

Resposta

Classe [2,4): f=4, F=4, \dfrac{f}{n}=\dfrac{4}{30}=0,1333 ( 13,33\%), ponto médio =3
Classe [4,6): f=12, F=16, \dfrac{f}{n}=\dfrac{12}{30}=0,4 ( 40,00\%), ponto médio =5
Classe [6,8): f=10, F=26, \dfrac{f}{n}=\dfrac{10}{30}=0,3333 ( 33,33\%), ponto médio =7
Classe [8,10): f=4, F=30, \dfrac{f}{n}=\dfrac{4}{30}=0,1333 ( 13,33\%), ponto médio =9

Exercícios relacionados