Ao longo de um plano, o potencial é dado por V=a cos theta / r^2+b / r, em que r e theta são as variáveis do sistema polar de coordenadas e a e b são duas constantes. Encontre as componentes Er e Etheta do campo eléctrico, em qualquer ponto do plano.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular a questão antes de partir pra conta.
Enunciado: “Num plano, o potencial eletrostático é
V(r,theta)=acosthetar^2+br,,
onde E=-nabla V são coordenadas polares e Er=-partial Vpartial r, Etheta=-1rpartial Vpartialtheta, são constantes. A tarefa é achar as componentes e do campo elétrico em qualquer ponto.”
Conteúdo: potencial elétrico e o conceito de gradiente em coordenadas polares.
O que precisamos: lembrar que
e, em polares,

Passo 2

Vamos primeiro calcular V(r,theta)=a,costheta;r^-2+b,r^-1,, .
Dado
partial Vpartial r =-2acosthetar^3-br^2,
cada termo deriva assim:

  1. Somando,

Passo 3

Agora usamos Er =-l(-2acosthetar^3-br^2r) =2acosthetar^3+br^2, .
Então

Passo 4

Em seguida, partialpartialthetal(acostheta,r^-2r) =a,r^-2,(-sintheta) =-asinthetar^2 .
Só o primeiro termo depende de :
O segundo termo não depende de , então sua derivada é zero.

Passo 5

Usamos Etheta =-1rl(-asinthetar^2r) =asinthetar^3, :

Resposta

As componentes do campo elétrico são
boxed Er=2acosthetar^3+br^2 , Etheta=asinthetar^3

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