[3,0] Sua casa tem um aquecedor de água elétrico de 40 galões que aquece a água a uma temperatura de 110^circ F. Vários amigos estão visitando você no final de semana e estão tomando banhos consecutivos. Suponha que, no nível de aquecimento máximo, o aquecedor use 5 kW de eletricidade. A taxa de uso da água é contínua em 2 gpm , com a nova ducha econômica que você acabou de instalar. Sua ducha muito antiga usava 5 gpm ! Você trocou a ducha porque aprendeu que o aquecimento da água era o segundo maior uso de energia em sua casa. Qual é a temperatura da água que sai do aquecedor (a) usando a ducha antiga e (b) a nova ducha eficiente? Suponha que o sistema esteja em estado estável, de modo que toda a energia utilizada aqueça a água.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um aquecedor de água elétrico de 40 galões que esquenta a água até 110^circ F. Seus amigos estão tomando banhos um após o outro usando duas duchas diferentes: uma velha que consome 5 galões por minuto (gpm) e uma nova e mais eficiente que usa 2 gpm. O aquecedor, quando está no máximo, usa 5 kW de eletricidade. A gente precisa descobrir qual é a temperatura da água que sai do aquecedor quando se usa a ducha antiga e quando se usa a nova. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e fluxo de água.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender que, em estado estável, a energia fornecida pelo aquecedor está sendo usada para aquecer a água que sai. Então, a potência elétrica (5 kW) está sendo convertida em calor para a água. A fórmula básica que conecta energia, potência e temperatura é:
P = dotm cdot c cdot De
Onde:
  • $ P $ é a potência (em Watts)
  • $ \dot{m} $ é a taxa de fluxo de massa da água (em kg/s)
  • $ c $ é a capacidade calorífica da água (aproximadamente P )
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura da água

Passo 3

Vamos precisar converter a taxa de fluxo de água de galões por minuto (gpm) para kg/s. Sabemos que 1 galão de água pesa cerca de 3,785 kg e há 60 segundos em um minuto. Então:
dotm = gpm times 3,78560

Passo 4

Primeiro, vamos calcular para a ducha antiga que usa 5 gpm:
dotmantiga = 5 times 3,78560 approx 0,315 , kg/s

Passo 5

Agora, para a ducha nova que usa 2 gpm:
dotmnova = 2 times 3,78560 approx 0,126 , kg/s

Passo 6

Vamos reorganizar a fórmula para encontrar $ \Delta T $:
De
E a temperatura de saída da água será a temperatura do aquecimento menos $ \Delta T $.

Passo 7

Vamos calcular $ \Delta T $ para a ducha antiga:
De
Convertendo para Fahrenheit:
De
Então, a temperatura de saída será:
3,78^circ C times 95 + 32 approx 38,8^circ F

Passo 8

Agora, para a ducha nova:
De
Convertendo para Fahrenheit:
9,48^circ C times 95 + 32 approx 48,1^circ F
Então, a temperatura de saída será:
110^circ F - 48,1^circ F approx 61,9^circ F

Resposta

(a) Usando a ducha antiga de 5 gpm, a água que sai do aquecedor tem aproximadamente 71,2^circ F.
(b) Usando a ducha nova eficiente de 2 gpm, a temperatura da água que sai do aquecedor é por volta de 61,9^circ F.

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