Um losango tem 40 cm de perímetro. Se a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor, determine a área desse losango.
a) 50 cm²
b) 60 cm²
c) 70 cm²
d) 80 cm² e) 90 cm²
a) 50 cm²
b) 60 cm²
c) 70 cm²
d) 80 cm² e) 90 cm²
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo um losango com perímetro de 40 cm. A questão diz que a diagonal maior é o dobro da diagonal menor e pede pra gente descobrir a área desse losango. Vamos usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre os losangos, e algumas fórmulas de perímetro e área para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o perímetro de um losango é a soma de todos os seus lados. Como todo losango tem quatro lados iguais, a gente pode encontrar o comprimento de um lado dividindo o perímetro por 4.
Então, cada lado do losango mede 10 cm.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre as diagonais. A diagonal maior é o dobro da diagonal menor. Vamos chamar a diagonal menor de $ d $. Então, a diagonal maior será $ 2d $.
Passo 4
Em um losango, as diagonais se cortam perpendicularmente e dividem o losango em quatro triângulos retângulos iguais. Podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar as diagonais com o lado do losango.
Cada lado do losango é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado por metade das diagonais. Então:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 5
Vamos resolver a equação para encontrar o valor de $ d $:
Então, a diagonal menor $ d_2 $ é $ 4\sqrt{5} $ cm e a diagonal maior $ d_1 $ é o dobro, ou seja, $ 8\sqrt{5} $ cm.
Passo 6
Agora que temos as duas diagonais, podemos calcular a área do losango. A fórmula para a área $ A $ de um losango é:
Substituindo os valores das diagonais:
Resposta
A área do losango é 80 cm², ou seja, a alternativa d) 80 cm².