O crescimento de uma cultura de bactérias obedece à função N(t)=600.3kt, em que N é o número de bactérias no instante t, sendo t o tempo em horas. A produção tem início em t=0. Decorridas 12 horas, há um total de 1800 bactérias. O valor de k e o número de bactérias, após 24 horas do início da produção, são, respectivamente?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa descobrir dois valores:
  1. O valor de $ k $ na função de crescimento das bactérias.
  2. O número de bactérias após 24 horas.
Para isso, vamos utilizar a função que descreve o crescimento das bactérias:
k
Onde:
  • $ N(t) $ é o número de bactérias no tempo $ t $ (em horas).
  • $ t $ é o tempo que se passou desde o início da produção das bactérias.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação que após 12 horas, há 1800 bactérias. Vamos substituir esses valores na função para encontrar $ k $.
k

Passo 3

Agora, vamos isolar a parte exponencial. Para isso, dividimos ambos os lados por 600:
1800600 = 3^12k
3 = 3^12k

Passo 4

Observamos que $ 3^1 = 3 $, então podemos igualar os expoentes:
3^1 = 3

Passo 5

Resolvendo para $ k $:
k

Passo 6

Agora que temos $ k = \frac{1}{12} $, vamos calcular o número de bactérias após 24 horas usando a mesma função:
k = 112

Passo 7

Simplificando o expoente:
(112) cdot 24 = 2
Então,
N(24) = 600 cdot 3^2
N(24) = 600 cdot 9
N(24) = 5400

Resposta

O valor de $ k $ é $ \frac{1}{12} $ e, após 24 horas, haverá 5400 bactérias.

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