O crescimento de uma cultura de bactérias obedece à função N(t)=600.3kt, em que N é o número de bactérias no instante t, sendo t o tempo em horas. A produção tem início em t=0. Decorridas 12 horas, há um total de 1800 bactérias. O valor de k e o número de bactérias, após 24 horas do início da produção, são, respectivamente?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa descobrir dois valores:
- O valor de $ k $ na função de crescimento das bactérias.
- O número de bactérias após 24 horas.
Para isso, vamos utilizar a função que descreve o crescimento das bactérias:
Onde:
- $ N(t) $ é o número de bactérias no tempo $ t $ (em horas).
- $ t $ é o tempo que se passou desde o início da produção das bactérias.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a informação que após 12 horas, há 1800 bactérias. Vamos substituir esses valores na função para encontrar $ k $.
Passo 3
Agora, vamos isolar a parte exponencial. Para isso, dividimos ambos os lados por 600:
Passo 4
Observamos que $ 3^1 = 3 $, então podemos igualar os expoentes:
Passo 5
Resolvendo para $ k $:
Passo 6
Agora que temos $ k = \frac{1}{12} $, vamos calcular o número de bactérias após 24 horas usando a mesma função:
Passo 7
Simplificando o expoente:
Então,
Resposta
O valor de $ k $ é $ \frac{1}{12} $ e, após 24 horas, haverá 5400 bactérias.