2 - Uma LT com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,25 \mathrm{~m}^{-1} tem 5 m de comprimento e alimenta uma carga de 100 \Omega. A tensão na entrada da linha tem amplitude (valor de pico) de 45,6 \mathrm{~V}. Calcular:
a) a potência na entrada da linha;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que aparece abaixo foi fornecido no enunciado):
  • Impedância característica: Z_{0}=50\\ \Omega.
  • Constante de propagação: \gamma=\mathrm{j}\,0{,}25\\ \mathrm{m}^{-1}. (Isto indica linha sem perdas, com \gamma=\mathrm{j}\beta.)
  • Comprimento da linha: l=5\\ \mathrm{m}.
  • Carga na extremidade: Z_{L}=100\\ \Omega.
  • Amplitude (valor de pico) da tensão na entrada da linha: V_{\text{in,peak}}=45{,}6\\ \mathrm{V}.
O que o item (a) pede:
  • Calcular a potência na entrada da linha (ou seja, a potência média entregue pela fonte à linha na condição dada).

Passo 2

Estratégia e fórmulas principais (explicação didática do que vamos usar):
  • Para uma linha com constante de propagação \gamma e comprimento l, a impedância de entrada vista na origem é dada pela fórmula geral
Z_{\text{in}} = Z_0 \frac{Z_L + Z_0 \operatorname{tanh}(\gamma l)}{Z_0 + Z_L \operatorname{tanh}(\gamma l)}.
Explicando: Z_0 é a impedância característica (um número real para linha sem perdas), Z_L é a carga, \gamma descreve como a onda se propaga na linha e l é o comprimento. Essa fórmula vem da solução das equações de onda na linha e da condição de contorno na carga.
  • No caso sem perdas \gamma=\mathrm{j}\beta (aqui \beta=0{,}25\\ \mathrm{m}^{-1}), vale a identidade
\operatorname{tanh}(\mathrm{j}\beta l)=\mathrm{j}\tan(\beta l).
Portanto a expressão se transforma em
Z_{\text{in}} = Z_0 \frac{Z_L + \mathrm{j}Z_0 \tan(\beta l)}{Z_0 + \mathrm{j}Z_L \tan(\beta l)}.
  • A potência média (real) entregue na entrada, quando a tensão de entrada é uma senóide com amplitude de pico V_{\text{in,peak}}, pode ser calculada a partir de Z_{\text{in}} por
P_{\text{média}} = \frac{1}{2} |V_{\text{in,peak}}|^{2}\, \Re\!\left(\frac{1}{Z_{\text{in}}}\right).é
Explicando: \frac{1}{2}|V_{\text{peak}}|^2 é V_{\text{rms}}^2 porque V_{\text{rms}}=V_{\text{peak}}/\sqrt{2}. A potência média em regime senoidal é P=V_{\text{rms}}^2\Re(1/Z). Outra forma equivalente é calcular a corrente rms e usar P=V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}\cos\varphi, mas usar \Re(1/Z) é direto quando se conhece Z_{\text{in}}.

Passo 3

Calcular \beta l e \tan(\beta l):
  • Primeiro \beta = 0{,}25\\ \mathrm{m}^{-1} e l=5\\ \mathrm{m}, então
\beta l = 0{,}25 \times 5 = 1{,}25\\ \text{rad}.
  • Calculando a tangente:
\tan(\beta l)=\tan(1{,}25)\approx 3{,}009569.
Vou chamar este valor de t, isto é t\approx 3{,}009569.

Passo 4

Substituir na fórmula de Z_{\text{in}} e calcular passo a passo:
  • Aplicando a fórmula com t=\tan(\beta l):
Z_{\text{in}} = 50\\ \frac{100 + \mathrm{j}\,50\,t}{50 + \mathrm{j}\,100\,t}.
  • Calcular os termos numéricos:
100 + \mathrm{j}\,50\,t = 100 + \mathrm{j}\,(50\times 3{,}009569)=100 + \mathrm{j}\,150{,}47845,
50 + \mathrm{j}\,100\,t = 50 + \mathrm{j}\,(100\times 3{,}009569)=50 + \mathrm{j}\,300{,}9569.
  • Fazendo a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador) e incluindo o fator 50, obtém-se (mostrando os cálculos intermediários resumidos):
Z_{\text{in}}\approx 27{,}02 - \mathrm{j}\,12{,}12\\ \Omega.
(Detalhe rápido de como isso foi obtido: multiplicou-se 50(100+\mathrm{j}150{,}47845) por (50-\mathrm{j}300{,}9569) e dividiu-se pelo módulo ao quadrado do denominador 50^{2}+(300{,}9569)^{2}; o resultado real e imaginário arredondados são os apresentados.)

Passo 5

Passar da tensão de pico para tensão eficaz (rms) e preparar fórmula da potência:
  • Tensões senoidais: V_{\text{rms}}=V_{\text{peak}}/\sqrt{2}. Assim
V_{\text{in,rms}}=\frac{45{,}6}{\sqrt{2}}\approx 32{,}249\\ \mathrm{V}.
  • Usaremos
P_{\text{média}} = V_{\text{in,rms}}^{2}\, \Re\!\left(\frac{1}{Z_{\text{in}}}\right).é

Passo 6

Calcular \Re(1/Z_{\text{in}}) e então a potência:
  • Primeiro o módulo ao quadrado de Z_{\text{in}}:
|Z_{\text{in}}|^{2} = (27{,}02)^{2} + (-12{,}12)^{2} \approx 876{,}98.
  • Como \displaystyle \frac{1}{Z_{\text{in}}}=\frac{Z_{\text{in}}^{*}}{|Z_{\text{in}}|^{2}}, então a parte real de 1/Z_{\text{in}} é
\Re\!\left(\frac{1}{Z_{\text{in}}}\right)=\frac{\Re(Z_{\text{in}})}{|Z_{\text{in}}|^{2}}=\frac{27{,}02}{876{,}98}\approx 0{,}03082\\ \Omega^{-1}.
  • Agora a potência média:
P_{\text{média}} = (32{,}249)^{2}\times 0{,}03082 \approx 32{,}06\\ \mathrm{W}.é

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: a potência média na entrada é a potência real que a fonte fornece à linha+carga. Obtivemos um valor da ordem de algumas dezenas de watts; isso faz sentido porque a tensão de pico é moderada ( 45{,}6\\ \mathrm{V}) e a impedância de entrada tem parte resistiva na casa de 27\\ \Omega. Vai dar tudo certo na prova — reveja estes passos (Zin, conversão pico→rms, P=V_{\text{rms}}^2\Re(1/Z)) que são os pontos que costumam cair.

Resposta

32{,}06\\ \mathrm{W}

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