1 - Uma LT operando em \omega=10^{\prime} \mathrm{rad} / \mathrm{s}, com 921 m de comprimento, tem os seguintes parâmetros: \alpha=0,005 \mathrm{~Np} / \mathrm{m}, \beta=0,2 \mathrm{rad} / \mathrm{m} \mathrm{e} \mathrm{Z}_{0}=100 \Omega.
b) se a linha estiver casada com a carga, qual deve ser o ganho (em dB) de um amplificador colocado entre a linha e a carga de modo a compensar as perdas ao longo da linha (ou seja, para que a potência que chega na carga seja igual à potência na entrada da linha)?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o ganho (em dB) de um amplificador colocado entre a linha e a carga de modo que a potência que chega na carga seja igual à potência na entrada da linha (ou seja, compensar as perdas da linha). Dados fornecidos:
  • comprimento da linha: l=921\\ \mathrm{m};
  • constante de atenuação: \alpha=0,005\\ \mathrm{Np/m};
  • constante de fase: \beta=0,2\\ \mathrm{rad/m} (não será necessária para o ganho de potência);
  • impedância característica: Z_0=100\\ \Omega (linha casada com a carga).
    A pergunta é: qual o ganho do amplificador, em dB, que faz a potência na carga ficar igual à potência na entrada da linha?

Passo 2

Entendendo como a linha atenua o sinal (aula rápida, passo a passo).
  • Em uma linha de transmissão com atenuação \alpha, a amplitude da tensão (ou corrente) que viaja ao longo da linha decai exponencialmente com a distância. Para um sinal que entra com tensão complexa V(0), a tensão no fim da linha (na posição x=l) é
V(l)=V(0)\,e^{-\alpha l}\,e^{-j\beta l}.
Aqui:
  • \alpha tem unidade \mathrm{Np/m} (nepers por metro) e controla a diminuição do módulo da tensão;
  • e^{-j\beta l} é a variação de fase (irrelevante para potência).
  • A potência (instantânea média) em uma linha casada é proporcional ao quadrado do módulo da tensão dividido pela impedância característica. Assim, se a tensão decai por e^{-\alpha l}, a potência decai por e^{-2\alpha l}. Em fórmula:
P_{\text{carga}} = P_{\text{entrada}}\;e^{-2\alpha l}.
Portanto, a relação entre potência de saída e entrada devido às perdas da linha é um fator multiplicativo e^{-2\alpha l}.

Passo 3

Qual ganho é necessário no amplificador para compensar essa perda?
  • Queremos que, depois do amplificador, a potência na carga seja igual à potência que entrou na linha antes da atenuação. Se o amplificador tem ganho de potência linear G (fator adimensional), então precisamos de
P_{\text{carga,após amp}} = G\;P_{\text{carga,antes amp}} = P_{\text{entrada}}.ó
Mas P_{\text{carga,antes amp}} = P_{\text{entrada}}\,e^{-2\alpha l}. Substituindo:
G\;P_{\text{entrada}}\,e^{-2\alpha l} = P_{\text{entrada}} \quad\Rightarrow\quad G = e^{2\alpha l}.
Logo o ganho linear requerido é G=e^{2\alpha l}. Para converter em dB (ganho de potência em dB):
G_{\mathrm{dB}} = 10\log_{10}G = 10\log_{10}\!\bigl(e^{2\alpha l}\bigr).

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo.
  • Primeiro calcule \alpha l:
\alpha l = 0,005\cdot 921 = 4{,}605.
  • Então 2\alpha l:
2\alpha l = 2\cdot 4{,}605 = 9{,}21.
  • Ganho linear:
G = e^{2\alpha l} = e^{9{,}21}.
(Esse número é grande; vamos convertê-lo direto para dB.)
  • Conversão para dB usando \log_{10}(e)\approx 0{,}43429448:
G_{\mathrm{dB}} = 10\log_{10}\!\bigl(e^{9{,}21}\bigr) = 10\cdot 9{,}21\cdot \log_{10}(e) =10\cdot 9{,}21\cdot 0{,}43429448 \approx 40{,}00\\ \mathrm{dB}.
Também se observa que e^{9{,}21}\approx 10^{4}, ou seja, ganho linear perto de 10{,}000, consistente com 40\\ \mathrm{dB}.

Passo 5

Interpretação final e nota prática (um empurrãozinho motivador):
  • O amplificador precisa fornecer 40{,}00\\ \mathrm{dB} de ganho de potência para que a potência na carga volte a ser igual à potência na entrada da linha.
  • Isso é bastante ganho (≈10^4 em potência), então na prática seria importante verificar ruído, estabilidade e se é melhor amplificar na entrada da linha ou usar repetidores ao longo do cabo. Mas calmamente: o número pedido para a prova é 40\\ \mathrm{dB}.

Resposta

40{,}00\\ \mathrm{dB}

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