1 - Uma LT operando em \omega=10^{\prime} \mathrm{rad} / \mathrm{s}, com 921 m de comprimento, tem os seguintes parâmetros: \alpha=0,005 \mathrm{~Np} / \mathrm{m}, \beta=0,2 \mathrm{rad} / \mathrm{m} \mathrm{e} \mathrm{Z}_{0}=100 \Omega.
a) calcular os parâmetros primários da linha (R, L, G e C por unidade de comprimento);

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, para ficarmos todos alinhados (peguei estes números do enunciado):
  • Frequência angular: \omega = 10\\ \mathrm{rad/s}.
  • Comprimento da linha: 921\\ \mathrm{m} (fornecido, mas aqui vamos calcular parâmetros por unidade de comprimento).
  • Constantes de propagação por unidade de comprimento:
    • constante de atenuação: \alpha = 0,005\\ \mathrm{Np/m},
    • constante de fase: \beta = 0,2\\ \mathrm{rad/m}.
  • Impedância característica: Z_0 = 100\\ \Omega.
O que o enunciado pede:
  • Calcular os parâmetros primários por unidade de comprimento da linha: R, L, G e C (ou seja, R em \Omega/\mathrm{m}, L em \mathrm{H}/\mathrm{m}, G em \mathrm{S}/\mathrm{m} e C em \mathrm{F}/\mathrm{m}).

Passo 2

Conceitos e relações fundamentais (aulas rápidas, bem mastigadas).
  • A constante de propagação complexa é
\gamma = \alpha + j\beta,
onde \alpha (em \mathrm{Np/m}) mede atenuação por metro e \beta (em \mathrm{rad/m}) mede variação de fase por metro.
  • Os parâmetros primários por unidade de comprimento aparecem combinados nas relações
\gamma = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}
e
Z_0 = \sqrt{\dfrac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}.
Explicando: R e L aparecem no numerador da fração dentro de Z_0 porque representam a impedância por unidade de comprimento do condutor; G e C aparecem no denominador porque representam a admitância por unidade de comprimento do dielétrico entre condutores.

Passo 3

Isolando as combinações complexas úteis.
Defina
A = R + j\omega L,\qquad B = G + j\omega C.
Então as duas equações ficam
\gamma = \sqrt{A B},\qquad Z_0 = \sqrt{\dfrac{A}{B}}.
Multiplicando as duas expressões (usando as raízes principais para linha passiva) obtemos
\gamma Z_0 = A,
e dividindo obtemos
\dfrac{\gamma}{Z_0} = B.
Isto é muito prático: as duas quantidades complexas A e B são simplesmente \gamma Z_0 e \gamma / Z_0.

Passo 4

Separando parte real e imaginária para achar R,L,G,C.
Escrevendo \gamma = \alpha + j\beta e usando A=\gamma Z_0:
A = R + j\omega L = Z_0(\alpha + j\beta) = Z_0\alpha + j Z_0\beta.
Comparando partes real e imaginária:
R = Z_0\alpha,\qquad \omega L = Z_0\beta \quad\Rightarrow\quad L = \dfrac{Z_0\beta}{\omega}.
De forma análoga, com B=\gamma/Z_0:
B = G + j\omega C = \dfrac{\alpha + j\beta}{Z_0} = \dfrac{\alpha}{Z_0} + j\dfrac{\beta}{Z_0}.
Logo
G = \dfrac{\alpha}{Z_0},\qquad \omega C = \dfrac{\beta}{Z_0}\quad\Rightarrow\quad C = \dfrac{\beta}{\omega Z_0}.
Resumo das fórmulas que vamos usar (já explicadas):
R = Z_0\alpha,\qquad L = \dfrac{Z_0\beta}{\omega},\qquad G = \dfrac{\alpha}{Z_0},\qquad C = \dfrac{\beta}{\omega Z_0}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos passo a passo (faça igual na prova, mostrando cada multiplicação):
Dados: \alpha = 0,005\\ \mathrm{Np/m}, \beta = 0,2\\ \mathrm{rad/m}, Z_0 = 100\\ \Omega, \omega = 10\\ \mathrm{rad/s}.
Calcular R:
R = Z_0\alpha = 100 \times 0,005 = 0,5\\ \Omega/\mathrm{m}.
Calcular L:
L = \dfrac{Z_0\beta}{\omega} = \dfrac{100 \times 0,2}{10} = \dfrac{20}{10} = 2\\ \mathrm{H}/\mathrm{m}.

Passo 6

Calcular G e C com as mesmas regras de organização:
Calcular G:
G = \dfrac{\alpha}{Z_0} = \dfrac{0,005}{100} = 0,00005\\ \mathrm{S}/\mathrm{m} = 5\times10^{-5}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.
Calcular C:
C = \dfrac{\beta}{\omega Z_0} = \dfrac{0,2}{10\times100} = \dfrac{0,2}{1000} = 0,0002\\ \mathrm{F}/\mathrm{m} = 2\times10^{-4}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.

Passo 7

Comentário final curto e incentivo: pronto — obtivemos os quatro parâmetros primários por unidade de comprimento. Sempre que vir \alpha,\beta,Z_0 dá para recuperar R,L,G,C usando as fórmulas de combinação complexa que mostramos; isso é um método muito útil em prova porque evita resolução de equações complicadas.

Resposta

R = 0,5\\ \Omega/\mathrm{m}
L = 2\\ \mathrm{H}/\mathrm{m}
G = 5\times10^{-5}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}
C = 2\times10^{-4}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}

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