2 - Uma LT com
e
tem 5 m de comprimento e alimenta uma carga de
. A tensão na entrada da linha tem amplitude (valor de pico) de
. Calcular:
c) o comprimento mínimo do toco (stub) a ser ligado a
da carga de modo a evitar ondas refletidas à esquerda do ponto de conexão do toco com a linha.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem ainda resolver nada):
-
Dados fornecidos:
- Impedância característica da linha:
. - Constante de propagação:
. Como é puramente imaginária, o fator de fase é . - Comprimento da linha (gerador → carga):
(informação dada). - Carga na extremidade da linha:
. - A tensão na entrada da linha tem amplitude
(não será necessária para projetar o toco de modo a eliminar reflexões). - Posição onde o toco (stub) será ligado: a
da carga, ao longo da linha (isto é, medido a partir da carga em direção ao gerador).
- Impedância característica da linha:
-
O que o enunciado pede (apenas a parte (c) enviada):
- “Calcular o comprimento mínimo do toco (stub) a ser ligado a
da carga de modo a evitar ondas refletidas à esquerda do ponto de conexão do toco com a linha.”
- “Calcular o comprimento mínimo do toco (stub) a ser ligado a
Observações importantes que ficam explícitas desde já (sem resolver ainda):
- Para que não haja ondas refletidas à esquerda do ponto de conexão do toco, a impedância equivalente vista à direita desse ponto (ou seja, a combinação da parte da linha até a carga em paralelo com o toco) deve ser exatamente
. Em termos de admitâncias: , onde . - Um toco (stub) lossless e terminado em curto ou em aberto fornece apenas componente reativa (admitância puramente imaginária). Assim, para que seja possível anular refletidas apenas com um toco lossless, a parte real da admitância vista à direita do ponto de conexão deve ser menor ou igual a
; caso contrário seria necessário uma componente real adicional (condutância negativa), impossível com um toco puramente reativo.
Passo 2
Vou calcular a impedância vista a uma distância
da carga, olhando para a carga através da linha, usando a fórmula de transformação de impedância para linha lossless.
Fórmula (linha lossless):
Valores numéricos iniciais:
Calculando o argumento da tangente:
Agora a tangente:
Substituindo em termos numéricos:
Então o numerador e denominador ficam
Fazendo a divisão complexa:
Multiplicando por
:
(Nota: apresentei os cálculos numéricos passo a passo para que fique claro de onde saiu cada número.)
Passo 3
Agora passo para admitância dessa porção da linha (admitância vista à direita do ponto de conexão do toco), que é o inverso de
:
Usando a fórmula
:
O valor da admitância característica é
Passo 4
Para que não haja reflexão à esquerda do ponto de conexão do toco, a admitância total vista a partir desse ponto para a direita (parte da linha até a carga em paralelo com o toco) deve ser exatamente
. Ou seja:
Substituindo os números:
Interpretação física imediata:
exigida tem parte real negativa
(ou seja, condutância negativa) e parte imaginária positiva
. Um toco (stub) puramente reativo e lossless, seja ele curto-circuitado ou aberto na extremidade, só pode fornecer uma admitância puramente imaginária (sem parte real):
é estritamente
vezes algo real. Especificamente:
- Stub curto:
(imutavelmente puro imaginário). - Stub aberto:
(também puro imaginário).
Portanto um stub lossless não pode fornecer a parte real negativa necessária.
Passo 5
Conclusão prática e física:
- A parte real da admitância vista à direita do ponto de conexão,
, é maior que . Como um stub puramente reativo não altera a componente real da admitância, não existe nenhum comprimento (nem para stub curto nem para stub aberto) que torne a admitância total igual a . O valor exigido de teria condutância negativa, o que é impossível com um elemento passivo lossless. - Em palavras simples: é impossível eliminar todas as reflexões à esquerda do ponto de conexão usando somente um toco puramente reativo ligado em paralelo nesse ponto, porque a porção da linha até a carga já apresenta condutância maior que a condutância característica.
Alternativas práticas (apenas para contexto, não pedidas explicitamente):
- Para obter correspondência nessa posição seria necessário um elemento que aporte uma parte resistiva (por exemplo um resistor ativo ou algum circuito que forneça condutância negativa) ou alterar a posição do stub (escolher um outro ponto ao longo da linha onde a parte real da admitância seja menor que
), ou usar uma combinação de stub e componente série/transformador, etc.
Resposta
Não existe comprimento de toco (stub) puramente reativo (aberto ou curto, lossless) que, ligado a
da carga, anule as ondas refletidas à esquerda do ponto de conexão. A admitância vista à direita tem parte real
, pelo que seria necessária uma condutância negativa no toco — fisicamente impossível com um stub passivo.