2 - Uma LT com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,25 \mathrm{~m}^{-1} tem 5 m de comprimento e alimenta uma carga de 100 \Omega. A tensão na entrada da linha tem amplitude (valor de pico) de 45,6 \mathrm{~V}. Calcular:
c) o comprimento mínimo do toco (stub) a ser ligado a 7,64 \mathrm{~m} da carga de modo a evitar ondas refletidas à esquerda do ponto de conexão do toco com a linha.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem ainda resolver nada):
  • Dados fornecidos:
    • Impedância característica da linha: Z_{0}=50\\ \Omega.
    • Constante de propagação: \gamma=\mathrm{j}\,0,25\\ \mathrm{m}^{-1}. Como é puramente imaginária, o fator de fase é \beta=0,25\\ \mathrm{rad/m}.
    • Comprimento da linha (gerador → carga): 5\\ \mathrm{m} (informação dada).
    • Carga na extremidade da linha: Z_{L}=100\\ \Omega.
    • A tensão na entrada da linha tem amplitude 45,6\\ \mathrm{V} (não será necessária para projetar o toco de modo a eliminar reflexões).
    • Posição onde o toco (stub) será ligado: a 7,64\\ \mathrm{m} da carga, ao longo da linha (isto é, medido a partir da carga em direção ao gerador).
  • O que o enunciado pede (apenas a parte (c) enviada):
    • “Calcular o comprimento mínimo do toco (stub) a ser ligado a 7,64\\ \mathrm{m} da carga de modo a evitar ondas refletidas à esquerda do ponto de conexão do toco com a linha.”
Observações importantes que ficam explícitas desde já (sem resolver ainda):
  • Para que não haja ondas refletidas à esquerda do ponto de conexão do toco, a impedância equivalente vista à direita desse ponto (ou seja, a combinação da parte da linha até a carga em paralelo com o toco) deve ser exatamente Z_{0}. Em termos de admitâncias: Y_{\text{direita}} + Y_{\text{toco}} = Y_{0}, onde Y_{0}=1/Z_{0}.
  • Um toco (stub) lossless e terminado em curto ou em aberto fornece apenas componente reativa (admitância puramente imaginária). Assim, para que seja possível anular refletidas apenas com um toco lossless, a parte real da admitância vista à direita do ponto de conexão deve ser menor ou igual a Y_{0}; caso contrário seria necessário uma componente real adicional (condutância negativa), impossível com um toco puramente reativo.

Passo 2

Vou calcular a impedância vista a uma distância d=7,64\\ \mathrm{m} da carga, olhando para a carga através da linha, usando a fórmula de transformação de impedância para linha lossless.
Fórmula (linha lossless):
Z_{\text{in}}(d) = Z_{0}\,\frac{Z_{L} + \mathrm{j} Z_{0}\tan(\beta d)}{Z_{0} + \mathrm{j} Z_{L}\tan(\beta d)}.
Valores numéricos iniciais:
\beta = 0,25\\ \mathrm{rad/m},\qquad d = 7,64\\ \mathrm{m}.
Calculando o argumento da tangente:
\beta d = 0,25\cdot 7,64 = 1,91\\ \mathrm{rad}.
Agora a tangente:
\tan(1,91)\approx -2,833\quad (\text{valor numérico aproximado}).é
Substituindo em termos numéricos:
\mathrm{j}Z_{0}\tan(\beta d)=\mathrm{j}\cdot 50\cdot(-2,833)=-\mathrm{j}\,141{,}65,
\mathrm{j}Z_{L}\tan(\beta d)=\mathrm{j}\cdot 100\cdot(-2,833)=-\mathrm{j}\,283{,}30.
Então o numerador e denominador ficam
\text{num} = 100 - \mathrm{j}\,141{,}65,\qquad \text{den} = 50 - \mathrm{j}\,283{,}30.
Fazendo a divisão complexa:
\frac{\text{num}}{\text{den}}\approx 0{,}5455 + \mathrm{j}\,0{,}2568.
Multiplicando por Z_{0}=50\\ \Omega:
Z_{\text{in}}(7,64\\ \mathrm{m}) \approx 50\cdot(0{,}5455 + \mathrm{j}\,0{,}2568)\approx 27{,}28 + \mathrm{j}\,12{,}84\\ \Omega.
(Nota: apresentei os cálculos numéricos passo a passo para que fique claro de onde saiu cada número.)

Passo 3

Agora passo para admitância dessa porção da linha (admitância vista à direita do ponto de conexão do toco), que é o inverso de Z_{\text{in}}:
Y_{\text{in}} = \frac{1}{Z_{\text{in}}} = \frac{1}{27{,}28 + \mathrm{j}\,12{,}84}.
Usando a fórmula 1/(R+\mathrm{j}X) = \dfrac{R-\mathrm{j}X}{R^{2}+X^{2}}:
R^{2}+X^{2} \approx 27{,}28^{2}+12{,}84^{2}\approx 909{,}2,
Y_{\text{in}} \approx \frac{27{,}28}{909{,}2} - \mathrm{j}\,\frac{12{,}84}{909{,}2}\approx 0{,}0300 - \mathrm{j}\,0{,}0141\\ \mathrm{S}.
O valor da admitância característica é
Y_{0}=\frac{1}{Z_{0}}=\frac{1}{50}=0{,}02\\ \mathrm{S}.

Passo 4

Para que não haja reflexão à esquerda do ponto de conexão do toco, a admitância total vista a partir desse ponto para a direita (parte da linha até a carga em paralelo com o toco) deve ser exatamente Y_{0}. Ou seja:
Y_{\text{in}} + Y_{\text{toco}} = Y_{0}\quad\Rightarrow\quad Y_{\text{toco}} = Y_{0} - Y_{\text{in}}.
Substituindo os números:
Y_{\text{toco}} = 0{,}02 - (0{,}0300 - \mathrm{j}\,0{,}0141) = -0{,}0100 + \mathrm{j}\,0{,}0141\\ \mathrm{S}.
Interpretação física imediata: Y_{\text{toco}} exigida tem parte real negativa -0{,}0100\\ \mathrm{S} (ou seja, condutância negativa) e parte imaginária positiva +\,0{,}0141\\ \mathrm{S}. Um toco (stub) puramente reativo e lossless, seja ele curto-circuitado ou aberto na extremidade, só pode fornecer uma admitância puramente imaginária (sem parte real): Y_{\text{stub}} é estritamente \mathrm{j} vezes algo real. Especificamente:
  • Stub curto: Y_{\text{stub,short}} = -\mathrm{j}Y_{0}\cot(\beta l_{\text{stub}}) (imutavelmente puro imaginário).
  • Stub aberto: Y_{\text{stub,open}} = \mathrm{j}Y_{0}\tan(\beta l_{\text{stub}}) (também puro imaginário).
Portanto um stub lossless não pode fornecer a parte real negativa necessária.

Passo 5

Conclusão prática e física:
  • A parte real da admitância vista à direita do ponto de conexão, G_{\text{in}}\approx 0{,}0300\\ \mathrm{S}, é maior que Y_{0}=0{,}02\\ \mathrm{S}. Como um stub puramente reativo não altera a componente real da admitância, não existe nenhum comprimento (nem para stub curto nem para stub aberto) que torne a admitância total igual a Y_{0}. O valor exigido de Y_{\text{toco}} teria condutância negativa, o que é impossível com um elemento passivo lossless.
  • Em palavras simples: é impossível eliminar todas as reflexões à esquerda do ponto de conexão usando somente um toco puramente reativo ligado em paralelo nesse ponto, porque a porção da linha até a carga já apresenta condutância maior que a condutância característica.
Alternativas práticas (apenas para contexto, não pedidas explicitamente):
  • Para obter correspondência nessa posição seria necessário um elemento que aporte uma parte resistiva (por exemplo um resistor ativo ou algum circuito que forneça condutância negativa) ou alterar a posição do stub (escolher um outro ponto ao longo da linha onde a parte real da admitância seja menor que Y_{0}), ou usar uma combinação de stub e componente série/transformador, etc.

Resposta

Não existe comprimento de toco (stub) puramente reativo (aberto ou curto, lossless) que, ligado a 7,64\\ \mathrm{m} da carga, anule as ondas refletidas à esquerda do ponto de conexão. A admitância vista à direita tem parte real G_{\text{in}}\approx 0{,}0300\\ \mathrm{S}>Y_{0}=0{,}02\\ \mathrm{S}, pelo que seria necessária uma condutância negativa no toco — fisicamente impossível com um stub passivo.

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