2 - Uma LT com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,25 \mathrm{~m}^{-1} tem 5 m de comprimento e alimenta uma carga de 100 \Omega. A tensão na entrada da linha tem amplitude (valor de pico) de 45,6 \mathrm{~V}. Calcular:
b) a tensão de pico na carga;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (tudo isso foi dado no enunciado) e o que pede nesta letra (b).
  • Impedância característica: \,Z_{0}=50\\ \Omega.
  • Constante de propagação: \,\gamma=\mathrm{j}\,0,25\\ \mathrm{m}^{-1}. Logo a linha é essencialmente lossless e \beta=0,25\\ \mathrm{rad/m}.
  • Comprimento da linha: \,l=5\\ \mathrm{m}.
  • Carga na extremidade: \,Z_{L}=100\\ \Omega.
  • Amplitude (valor de pico) da tensão na entrada da linha: \,V_{\text{in}}^{\text{(pico)}}=45,6\\ \mathrm{V}.
O que a letra (b) pede:
  • Calcular a tensão de pico na carga, isto é \,V_{L}^{\text{(pico)}}.

Passo 2

Explicar o modelo de ondas na linha e como relacionar a tensão na entrada com a tensão na carga (a parte didática).
  • Num modelo de linha de transmissão usamos ondas para frente e para trás. Escolho a convenção com z=0 na carga e z positivo na direção do gerador (portanto a entrada está em z=-l).
  • A tensão ao longo da linha, em fasores, é
V(z)=V_{+}e^{-\gamma z}+V_{-}e^{\gamma z},
onde:
  • V_{+} é a amplitude complexa da onda incidente (para a direita, indo para a carga),
  • V_{-} é a amplitude complexa da onda refletida (para a esquerda, vindo da carga).
  • Na carga ( z=0) a tensão é
V_{L}=V(0)=V_{+}+V_{-}.
  • A reflexão na carga é medida pelo coeficiente de reflexão na carga
\Gamma_{L}=\frac{V_{-}}{V_{+}}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
  • Na entrada ( z=-l) a tensão é
V_{\text{in}}=V(-l)=V_{+}e^{\gamma l}+V_{-}e^{-\gamma l}=V_{+}\bigl(e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}\bigr).
  • Queremos a magnitude da tensão na carga em função da magnitude da tensão na entrada. Combinando as duas expressões obtemos a função de transferência (em fasores)
\frac{V_{L}}{V_{\text{in}}}=\frac{V_{+}(1+\Gamma_{L})}{V_{+}\bigl(e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}\bigr)}=\frac{1+\Gamma_{L}}{e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}}.
Como foram dadas magnitudes (valores de pico), vamos usar a magnitude desta relação:
\bigl|V_{L}\bigr|=\bigl|V_{\text{in}}\bigr|\cdot\left|\frac{1+\Gamma_{L}}{e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}}\right|.

Passo 3

Calcular o coeficiente de reflexão na carga \Gamma_{L}.
  • Usando a fórmula
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}},
substituíndo os valores dados:
\Gamma_{L}=\frac{100-50}{100+50}=\frac{50}{150}=\frac{1}{3}\approx 0,333333\ldots
Observação: \Gamma_{L} é real e positivo porque Z_{L}>Z_{0}.

Passo 4

Simplificar a expressão para a magnitude da transferência aproveitando que \gamma=\mathrm{j}\beta (linha lossless).
  • Temos \gamma=\mathrm{j}\beta com \beta=0,25\\ \mathrm{rad/m}. Então
e^{\gamma l}=e^{\mathrm{j}\beta l}=\cos(\beta l)+\mathrm{j}\sin(\beta l)
e
e^{-\gamma l}=e^{-\mathrm{j}\beta l}=\cos(\beta l)-\mathrm{j}\sin(\beta l).
  • Denote a=\cos(\beta l) e b=\sin(\beta l). Então
e^{\mathrm{j}\beta l}=a+\mathrm{j}b,\qquad e^{-\mathrm{j}\beta l}=a-\mathrm{j}b.
  • Substituindo \Gamma_{L}=\dfrac{1}{3} na expressão do denominador:
e^{\mathrm{j}\beta l}+\Gamma_{L}e^{-\mathrm{j}\beta l}=(a+\mathrm{j}b)+\frac{1}{3}(a-\mathrm{j}b)=\frac{4}{3}a+\mathrm{j}\frac{2}{3}b.
  • O numerador 1+\Gamma_{L}=\dfrac{4}{3} (real). Assim a magnitude do denominador é
\bigl|e^{\mathrm{j}\beta l}+\Gamma_{L}e^{-\mathrm{j}\beta l}\bigr|=\sqrt{\left(\frac{4}{3}a\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}b\right)^{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{4a^{2}+b^{2}}.
  • Portanto a magnitude da transferência fica
\left|\frac{1+\Gamma_{L}}{e^{\mathrm{j}\beta l}+\Gamma_{L}e^{-\mathrm{j}\beta l}}\right| =\frac{\tfrac{4}{3}}{\tfrac{2}{3}\sqrt{4a^{2}+b^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{4a^{2}+b^{2}}}.
  • Nota útil: como a^{2}+b^{2}=1, pode-se reescrever 4a^{2}+b^{2}=1+3a^{2}, o que às vezes simplifica cálculos numéricos.

Passo 5

Calcular numericamente \beta l, a, b, a magnitude da transferência e por fim \bigl|V_{L}\bigr|.
  • Primeiro \beta l:
\beta l=0,25\cdot 5=1,25\\ \text{rad}.
  • Calcular a=\cos(1,25) e b=\sin(1,25). Valores (aproximações úteis):
a=\cos(1,25)\approx 0,31532,\qquad b=\sin(1,25)\approx 0,94898.
  • Calcular 4a^{2}+b^{2}. Usando a^{2}+b^{2}=1 4a^{2}+b^{2}=1+3a^{2}. Então
a^{2}\approx(0,31532)^{2}\approx 0,099419,
4a^{2}+b^{2}\approx 1+3\cdot 0,099419=1+0,298257=1,298257.
  • Agora a magnitude da transferência:
\frac{2}{\sqrt{4a^{2}+b^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{1,298257}}\approx\frac{2}{1,139435}\approx 1,755.
  • Finalmente a tensão de pico na carga:
\bigl|V_{L}\bigr|=\bigl|V_{\text{in}}\bigr|\times 1,755\approx 45,6\\ \mathrm{V}\times 1,755\approx 80,0\\ \mathrm{V}.

Resposta

80,0\\ \mathrm{V}

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