1 - Uma LT com \mathrm{Z}=75 \Omega tem como carga um segmento de linha sem perdas com \mathrm{L}=500 \mathrm{nl} / \mathrm{m} e \mathrm{C}=22,222 \mathrm{pF} / \mathrm{m} terminado numa impedăncia de 300 \Omega. O segnento tem comprimento \mathrm{d}=7.5 \mathrm{~cm} e a frequāncia de operacāo é de I GHz. Calcular:
a) o comprimento de onda no segmento de linha:

Passo 1

Vou listar claramente os dados fornecidos (peguei estes números do enunciado) e o que o enunciado pede.
  • Impedância característica da linha de alimentação: \,Z=75\\ \Omega (informação de contexto).
  • Segmento sem perdas (linha lossless) com:
    • indutância por unidade de comprimento \,L=500\\ \mathrm{nH/m} = 500\times10^{-9}\\ \mathrm{H/m},
    • capacitância por unidade de comprimento \,C=22{,}222\\ \mathrm{pF/m} = 22{,}222\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Comprimento do segmento: \,d=7{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}075\\ \mathrm{m}.
  • Frequência de operação: \,f=1\\ \mathrm{GHz} = 1\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
O enunciado pede, na parte (a): calcular o comprimento de onda no segmento de linha, isto é \lambda naquele segmento.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática curta).
Para uma linha de transmissão sem perdas e homogênea, a velocidade de propagação das ondas (velocidade de fase) ao longo da linha é dada por
v=\frac{1}{\sqrt{L\,C}}.
Aqui:
  • \,L é a indutância por metro ( \mathrm{H/m}),
  • \,C é a capacitância por metro ( \mathrm{F/m}),
  • \,v tem unidades de \mathrm{m/s}.
Uma vez conhecida \,v, o comprimento de onda \lambda à frequência \,f é
\lambda=\frac{v}{f},
onde \,f é em \mathrm{Hz}.
Breve intuição: L e C determinam quão “lenta” é a linha para a propagação eletromagnética; \sqrt{LC} tem dimensão de tempo por distância, por isso 1/\sqrt{LC} dá uma velocidade.

Passo 3

Converter e escrever os valores numéricos em forma apropriada para calcular:
L=500\times10^{-9}\\ \mathrm{H/m}, \qquad C=22{,}222\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, \qquad f=1\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Calcular L\cdot C passo a passo:
L\,C = \bigl(500\times10^{-9}\bigr)\cdot\bigl(22{,}222\times10^{-12}\bigr) =(500\cdot22{,}222)\times10^{-21} =11\,111\times10^{-21} =1{,}1111\times10^{-17}.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{L\,C}=\sqrt{1{,}1111\times10^{-17}}\approx3{,}334\times10^{-9}.
Portanto a velocidade de propagação é
v=\frac{1}{\sqrt{L\,C}}\approx\frac{1}{3{,}334\times10^{-9}}\\ \mathrm{m/s} \approx2{,}999\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
(Observação: o valor fica muito próximo da velocidade da luz no vácuo, 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, o que é comum em linhas com esses parâmetros.)

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda:
\lambda=\frac{v}{f}\approx\frac{2{,}999\times10^{8}}{1\times10^{9}}\\ \mathrm{m} \approx0{,}2999\\ \mathrm{m}\approx0{,}300\\ \mathrm{m}.
Comentário prático (útil na prova): o segmento tem d=0{,}075\\ \mathrm{m}, que é exatamente \tfrac{1}{4}\lambda porque 0{,}075/0{,}300=0{,}25. Isso costuma ser relevante em problemas de linhas de transmissão (impedância transformada, ressonância, etc.).

Resposta

\lambda \approx 0{,}300\\ \mathrm{m}

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