1. A tensão \bar{V}_{B N} em um circuito trifásico equilibrado é 250 \angle-40^{\circ} \mathrm{V}. Se a sequência for negativa, qual será o valor de \bar{V}_{C N} e o valor de \bar{V}_{C A} ? (Valor 1,5)

Passo 1

O enunciado dá a tensão de fase (fase para o neutro) em um sistema trifásico equilibrado:
\bar{V}_{BN}=250\angle -40^\circ\\ \mathrm{V}.
Pede-se:
  • o valor de \bar{V}_{CN} (tensão da fase C em relação ao neutro);
  • o valor de \bar{V}_{CA} (tensão entre a fase C e a fase A, ou seja \bar{V}_{C}-\bar{V}_{A}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O sistema é equilibrado (módulos das tensões de fase iguais e defasagens iguais de 120^\circ).
  • A sequência é negativa (isso determina a ordem angular entre as fases).

Passo 2

Entendendo o que significa “sequência negativa” e como trabalhar com fases:
  • Num sistema trifásico equilibrado as três tensões de fase têm o mesmo módulo e suas fases diferem por 120^\circ.
  • Introduzimos o operador complexo a definido por
a=1\angle 120^\circ,
que satisfaz a^3=1 e 1+a+a^2=0.
  • Para sequência positiva (ordem A\to B\to C) normalmente podemos escrever, tomando \bar{V}_A como referência,
\bar{V}_B=a^2\bar{V}_A,\qquad \bar{V}_C=a\bar{V}_A.
  • Para sequência negativa (ordem A\to C\to B) as rotações trocam de sentido, e as relações ficam
\bar{V}_B=a\,\bar{V}_A,\qquad \bar{V}_C=a^2\bar{V}_A.
Ou, invertendo essas relações para quando se conhece \bar{V}_B, pode-se obter \bar{V}_A e \bar{V}_C multiplicando por potências de a (lembre que a^2=1\angle 240^\circ e a^{-1}=a^2).

Passo 3

Achar \bar{V}_{CN} a partir de \bar{V}_{BN} no caso de sequência negativa:
  • Partimos de \bar{V}_{BN}=250\angle -40^\circ.
  • Para sequência negativa vale \bar{V}_C=a\,\bar{V}_B ou, mais diretamente, ao avançar de \bar{V}_B para \bar{V}_C adiciona-se 120^\circ (as fases estão separadas por +120^\circ quando a ordem entre B\to C\to A é seguida).
  • Assim:
\bar{V}_{CN}=250\angle(-40^\circ+120^\circ)=250\angle 80^\circ\\ \mathrm{V}.
Também é útil obter \bar{V}_{AN} para calcular a tensão entre fases:
\bar{V}_{AN}=a^2\bar{V}_{BN}=250\angle(-40^\circ+240^\circ)=250\angle 200^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Entendendo e aplicando a fórmula para tensão entre linhas:
  • A tensão entre as fases C e A (linha a linha) é a diferença das tensões de fase em relação ao neutro:
\bar{V}_{CA}=\bar{V}_{C N}-\bar{V}_{A N}.
  • Vamos calcular essa diferença fazendo a conversão para componentes retangulares (isso deixa a subtração direta e didática).
Converter cada fasor para forma retangular:
\bar{V}_{CN}=250(\cos 80^\circ + j\sin 80^\circ),
\bar{V}_{AN}=250(\cos 200^\circ + j\sin 200^\circ).
Valores trigonométricos (usados abaixo):
\cos 80^\circ\approx 0,173648,\qquad \sin 80^\circ\approx 0,984808,
\cos 200^\circ=\cos(180^\circ+20^\circ)=-\cos 20^\circ\approx -0,939693,
\sin 200^\circ=\sin(180^\circ+20^\circ)=-\sin 20^\circ\approx -0,342020.
Componentes:
\Re(\bar{V}_{CN})=250\cdot 0,173648\approx 43,412, \qquad \Im(\bar{V}_{CN})=250\cdot 0,984808\approx 246,202.
\Re(\bar{V}_{AN})=250\cdot(-0,939693)\approx -234,923, \qquad \Im(\bar{V}_{AN})=250\cdot(-0,342020)\approx -85,505.
Agora subtrai-se:
\Re(\bar{V}_{CA})=\Re(\bar{V}_{CN})-\Re(\bar{V}_{AN})\approx 43,412-(-234,923)=278,335,
\Im(\bar{V}_{CA})=\Im(\bar{V}_{CN})-\Im(\bar{V}_{AN})\approx 246,202-(-85,505)=331,707.
Portanto em forma retangular:
\bar{V}_{CA}\approx 278,335 + j\,331,707\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Calcular módulo e argumento de \bar{V}_{CA}:
  • Módulo:
|\bar{V}_{CA}|=\sqrt{278,335^{2}+331,707^{2}}\approx 433,013\\ \mathrm{V}.
Observação prática: para sistema trifásico equilibrado, a tensão linha a linha tem módulo \sqrt{3} vezes a tensão de fase, então
|\bar{V}_{CA}|=250\sqrt{3}\approx 433,013\\ \mathrm{V},
o que confirma o resultado numérico (é um bom cheque rápido na prova).
  • Argumento (ângulo):
\angle \bar{V}_{CA}=\arctan\!\left(\dfrac{331,707}{278,335}\right)\approx 50^\circ.
Assim em forma fasorial:
\bar{V}_{CA}\approx 433,013\angle 50^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Resumo rápido para memorização (dica para prova):
  • Com sequência negativa e conhecida \bar{V}_{BN}, obtenha \bar{V}_{CN} acrescentando 120^\circ à fase de \bar{V}_{BN}.
  • Para linha a linha, subtraia fasores de fase: \bar{V}_{CA}=\bar{V}_{CN}-\bar{V}_{AN}. O resultado deverá ter módulo \sqrt{3} vezes a tensão de fase se o sistema estiver equilibrado.

Resposta

\bar{V}_{CN}=250\angle 80^\circ\\ \mathrm{V}
\bar{V}_{CA}=433,013\angle 50^\circ\\ \mathrm{V}

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