1 - Uma LT operando em f=500 \mathrm{MHz} tem os seguintes parâmetros: \gamma=j 10 \pi \mathrm{~m}^{-1} e Z_{0}=50 \Omega.
a) calcular os parâmetros primários da linha (R, L, G e C por unidade de comprimento);

Passo 1

O enunciado fornece uma linha de transmissão operando em f=500\\ \mathrm{MHz} com os parâmetros:
  • constante de propagação \gamma = j\,10\pi\\ \mathrm{m^{-1}},
  • impedância característica Z_{0}=50\\ \Omega.
O que se pede: calcular os parâmetros primários por unidade de comprimento R,\\ L,\\ G,\\ C (unidades: \Omega/\mathrm{m},\\ \mathrm{H/m},\\ \mathrm{S/m},\\ \mathrm{F/m}, respectivamente).
Dados relevantes que vou usar (já estão todos no enunciado):
  • f=500\times10^{6}\\ \mathrm{Hz},
  • \gamma=j\,10\pi\\ \mathrm{m^{-1}},
  • Z_{0}=50\\ \Omega.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (mini-aula):
  • Para uma linha de transmissão homogênea, os “primários” aparecem combinados nas fórmulas
\gamma=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}
e
Z_{0}=\sqrt{\dfrac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}.
Aqui:
  • \gamma é a constante de propagação (tem parte real \alpha e imaginária \beta, ou seja \gamma=\alpha+j\beta);
  • Z_{0} é a impedância característica (em \Omega);
  • R é a resistência por unidade de comprimento ( \Omega/\mathrm{m});
  • L é a indutância por unidade de comprimento ( \mathrm{H/m});
  • G é a condutância de fuga por unidade de comprimento ( \mathrm{S/m});
  • C é a capacitância por unidade de comprimento ( \mathrm{F/m});
  • \omega=2\pi f é a frequência angular (rad/s).
Estratégia algébrica (padrão útil): definir
A=R+j\omega L,\qquad B=G+j\omega C.
Então as duas equações ficam
\gamma^{2}=A B, \qquad Z_{0}^{2}=\dfrac{A}{B}.
A partir dessas duas equações pode-se resolver diretamente para A e B (veja passo seguinte).

Passo 3

Resolver algebricamente para A e B.
Multiplicando Z_{0}^{2}=\dfrac{A}{B} por B A=Z_{0}^{2}B.
Substituindo em \gamma^{2}=AB obtemos
\gamma^{2}=Z_{0}^{2}B^{2}\quad\Rightarrow\quad B^{2}=\dfrac{\gamma^{2}}{Z_{0}^{2}}.
Tomando a raiz principal (escolha do sinal que corresponde ao ramo físico),
B=\dfrac{\gamma}{Z_{0}}.
Então
A=Z_{0}^{2}B=Z_{0}^{2}\dfrac{\gamma}{Z_{0}}=Z_{0}\,\gamma.
Portanto as fórmulas diretas que vamos usar são
R+j\omega L = A = Z_{0}\,\gamma, \qquad G+j\omega C = B = \dfrac{\gamma}{Z_{0}}.
Essas expressões são muito práticas: multiplicando \gamma por Z_{0} obtém-se o conjunto R+j\omega L; dividindo \gamma por Z_{0} obtém-se G+j\omega C.

Passo 4

Calcular \omega numa forma numérica simples e calcular A e B.
A frequência angular:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 500\times10^{6} = 1{,}0\times10^{9}\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Usando \gamma=j\,10\pi e Z_{0}=50\\ \Omega:
A = Z_{0}\,\gamma = 50\cdot (j\,10\pi) = j\,500\pi\\ \Omega/\mathrm{m}.
B = \dfrac{\gamma}{Z_{0}} = \dfrac{j\,10\pi}{50} = j\,\dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{S/m}.

Passo 5

Separar parte real e imaginária para identificar R,\\ L,\\ G,\\ C.
Da expressão
R+j\omega L = j\,500\pi,
a parte real é R=0 e a parte imaginária é \omega L = 500\pi. Assim
R=0\\ \Omega/\mathrm{m}, \qquad L=\dfrac{500\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=1{,}0\times10^{9}\pi:
L=\dfrac{500\pi}{1{,}0\times10^{9}\pi}=\dfrac{500}{1{,}0\times10^{9}}=5{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Da expressão
G+j\omega C = j\,\dfrac{\pi}{5},
a parte real é G=0 e a parte imaginária é \omega C=\dfrac{\pi}{5}. Assim
G=0\\ \mathrm{S/m}, \qquad C=\dfrac{\pi/5}{\omega}.
Substituindo \omega=1{,}0\times10^{9}\pi:
C=\dfrac{\pi/5}{1{,}0\times10^{9}\pi}=\dfrac{1}{5\times10^{9}}=2{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 6

Interpretação física rápida (para te deixar confiante na resposta):
  • Tanto R quanto G saíram nulos. Isto ocorre porque \gamma é puramente imaginário ( \alpha=0); a linha, nas condições dadas, comporta-se como ideal (sem perdas) à frequência indicada.
  • Os valores de L e C satisfazem também a relação habitual para linha sem perdas Z_{0}=\sqrt{L/C}. (Isto pode ser verificado rapidamente substituindo os valores).

Resposta

R=0\\ \Omega/\mathrm{m}
L=5\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}
G=0\\ \mathrm{S/m}
C=2\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}

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