2 - Uma LT sem perdas, com Z_{0}=50 \Omega e comprimento \ell=2,25 \mathrm{~m}, alimenta uma carga \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=50+\mathrm{j} 100 \Omega. A linha é alimentada por um gerador com araplitude (valor de pico) de 200 \sqrt{2} \mathrm{~V} \mathrm{e} resistência interna de 50 \Omega. O comprimento de onda na linha é de 2,0 \mathrm{~m}. Calcular:
(2.0) a) A potência (ativa ou média) na entruda da linha; \mathrm{P}_{3}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a potência média na entrada da linha (denotada por P_{3}):
  • Impedância característica da linha: Z_{0}=50\\ \Omega.
  • Comprimento da linha: \ell=2{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Carga conectada à extremidade da linha: Z_{L}=50+\mathrm{j}\,100\\ \Omega.
  • Gerador com resistência interna R_{\mathrm{s}}=50\\ \Omega e amplitude (valor de pico) da tensão V_{\text{p}}=200\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.
  • Comprimento de onda na linha: \lambda=2{,}0\\ \mathrm{m}.
O que se pede:
  • Calcular a potência ativa (média) absorvida pela linha na sua entrada, P_{3}.

Passo 2

Vamos encontrar a impedância de entrada da linha \,Z_{\text{in}}(\ell)\,. Para uma linha sem perdas e comprimento \ell vale a fórmula
Z_{\text{in}}(\ell)=Z_{0}\,\frac{Z_{L}+ \mathrm{j}\,Z_{0}\tan(\beta\ell)}{Z_{0}+ \mathrm{j}\,Z_{L}\tan(\beta\ell)},
onde \beta é a constante de fase dada por \beta=\dfrac{2\pi}{\lambda}. Aqui:
\beta\ell=\frac{2\pi}{\lambda}\,\ell=\frac{2\pi}{2{,}0}\times 2{,}25=\pi\times 2{,}25=2{,}25\pi.
A tangente tem período \pi, então
\tan(\beta\ell)=\tan(2{,}25\pi)=\tan(0{,}25\pi)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
Substituindo \tan(\beta\ell)=1, Z_{0}=50\\ \Omega e Z_{L}=50+\mathrm{j}100\\ \Omega na fórmula:
Z_{\text{in}}=50\cdot\frac{(50+\mathrm{j}100)+\mathrm{j}\,50\cdot 1}{50+\mathrm{j}(50+\mathrm{j}100)\cdot 1}.
Calcular numerador e denominador passo a passo:
\text{numerador}=(50+\mathrm{j}100)+\mathrm{j}50=50+\mathrm{j}150,
\text{denominador}=50+\mathrm{j}(50+\mathrm{j}100)=50+(\mathrm{j}50-100)=-50+\mathrm{j}50.
Agora dividir:
Z_{\text{in}}=50\cdot\frac{50+\mathrm{j}150}{-50+\mathrm{j}50}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador (-50-\mathrm{j}50) para simplificar:
(50+\mathrm{j}150)(-50-\mathrm{j}50)=5000-\mathrm{j}10000,
(-50+\mathrm{j}50)(-50-\mathrm{j}50)=(-50)^2+(50)^2=5000.
Portanto
Z_{\text{in}}=50\cdot\frac{5000-\mathrm{j}10000}{5000}=50- \mathrm{j}100\\ \Omega.
Interpretação: a impedância de entrada da linha é \,Z_{\text{in}}=50-\mathrm{j}100\\ \Omega. Observe que a parte resistiva (que dissipa potência) é \Re(Z_{\text{in}})=50\\ \Omega.

Passo 3

Precisamos da corrente eficaz (RMS) que circula na série gerador ( R_{\mathrm{s}}=50\\ \Omega) — linha ( Z_{\text{in}}). Primeiro convertemos a tensão do gerador de pico para RMS. Para uma senóide:
V_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{p}}}{\sqrt{2}}.
Como V_{\text{p}}=200\sqrt{2}\\ \mathrm{V},
V_{\text{rms}}=\frac{200\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=200\\ \mathrm{V}.
A impedância total vista pelo gerador é \,Z_{\text{tot}}=R_{\mathrm{s}}+Z_{\text{in}}=50+(50-\mathrm{j}100)=100-\mathrm{j}100\\ \Omega.
A corrente RMS é
I_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{rms}}}{Z_{\text{tot}}}=\frac{200}{100-\mathrm{j}100}.
Para simplificar divido por 100:
I_{\text{rms}}=\frac{2}{1-\mathrm{j}}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado (1+\mathrm{j}):
I_{\text{rms}}=\frac{2(1+\mathrm{j})}{(1-\mathrm{j})(1+\mathrm{j})}=\frac{2(1+\mathrm{j})}{1+1}=1+\mathrm{j}\\ \text{A}.
O módulo ao quadrado da corrente RMS é
|I_{\text{rms}}|^{2}=(1)^{2}+(1)^{2}=2\\ \mathrm{A}^{2}.

Passo 4

Explicar a fórmula da potência ativa absorvida por uma impedância qualquer: para uma corrente RMS I_{\text{rms}} que atravessa uma impedância Z, a potência média dissipada (ativa) na impedância é
P=\;|I_{\text{rms}}|^{2}\,\Re(Z).
Aqui queremos a potência absorvida pela linha na sua entrada, então usamos Z=Z_{\text{in}} e \Re(Z_{\text{in}})=50\\ \Omega. Substituindo:
P_{3}=|I_{\text{rms}}|^{2}\,\Re(Z_{\text{in}})=2\times 50=100\\ \mathrm{W}.
Comentário curto e motivador: portanto a parte resistiva da entrada da linha absorve 100\\ \mathrm{W}. Para conferir rapidamente, a resistência interna do gerador também dissipa R_{\mathrm{s}}\,|I|^{2}=50\times 2=100\\ \mathrm{W}, e a potência total fornecida pelo gerador RMS é 200\\ \mathrm{W}, distribuída igualmente entre R_{\mathrm{s}} e \Re(Z_{\text{in}}) neste caso específico.

Resposta

100 W

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