6)Encontre o valor de i(t) para \mathrm{t} \geq 0, sabendo que i_{s}=2 e^{-3 t}(A) e que \mathrm{R}=3 \Omega ; \mathrm{L}=1 \mathrm{H} ; \mathrm{C} =\frac{1}{2} \mathrm{~F}.

Passo 1

Resumo do que o enunciado e a figura nos dão e a pergunta que temos que responder.
  • O enunciado diz explicitamente que i_s(t)=2e^{-3t} (A). Peguei essa expressão na figura/enunciado.
  • Peguei da imagem os valores dos elementos:
    • R=3\\ \Omega,
    • L=1\\ \mathrm{H},
    • C=\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{F}.
  • A imagem mostra também uma fonte de 10\\ \mathrm{V} do lado direito e dois interruptores indicados com o instante t=0. A seta na figura indica a corrente i através do indutor da esquerda para a direita. (Lista dos dados extraídos da imagem completa na seção “

Passo 2

Modelagem do circuito para t\ge0 — equações fundamentais (KCL / leis dos elementos) e escolha das variáveis.
  • Defino v(t) como a tensão no nó esquerdo (sobre o capacitor), que é também a tensão do capacitor v_C(t).
  • A corrente pedida i(t) é a corrente no indutor da esquerda para a direita (conforme seta da figura).
  • Observação importante (peguei da imagem): quando o interruptor direito fecha em t=0, o nó direito fica conectado ao terminal positivo da fonte de 10\\ \mathrm{V}. Assim, para t\ge0 o potencial do nó direito é fixo e igual a 10\\ \mathrm{V}. (Isto torna a tensão no nó direito conhecida: v_B(t)=10\\ \mathrm{V}.)
  • Escrevo as equações dos elementos:
    • Capacitor: i_C(t)=C\,\dfrac{dv}{dt}.
    • Indutor: v_L(t)=L\,\dfrac{di}{dt}.
    • Geometria: a tensão no indutor é a diferença entre o nó esquerdo e o nó direito, isto é v_L(t)=v(t)-10.
  • Aplicando KCL no nó esquerdo (o nó do capacitor): a corrente fornecida pelo gerador de corrente entra no nó e divide-se entre o capacitor e o indutor: i_s(t)=i_C(t)+i(t)=C\,\frac{dv}{dt}+i(t).
  • Usando a relação do indutor para substituir v(t) em termos de i(t): v(t)=v_L(t)+10 = L\,\frac{di}{dt}+10.Diferenciando essa relação: \frac{dv}{dt}=L\,\frac{d^2 i}{dt^2}.
  • Substituo \dfrac{dv}{dt} na equação KCL: i_s(t)=C\cdot L\,\frac{d^2 i}{dt^2}+i(t).Esta é a equação diferencial que governa i(t) para t\ge0. Note que a resistência R não aparece nesta equação porque, com o nó direito preso por uma fonte ideal de 10\\ \mathrm{V}, a resistência está em paralelo com essa fonte e não afeta diretamente a KCL do nó esquerdo (isto já foi observado a partir da figura).

Passo 3

Coloco os valores numéricos e simplifico a equação diferencial; determino as condições iniciais (com a hipótese de circuito sem energia antes de t=0).
  • Substituo L=1 e C=\tfrac{1}{2} na equação C L \frac{d^2 i}{dt^2}+i(t)=i_s(t).Assim \tfrac{1}{2}\,\frac{d^2 i}{dt^2}+i(t)=i_s(t).Multiplicando por 2: \frac{d^2 i}{dt^2}+2\,i(t)=2\,i_s(t).
  • Como i_s(t)=2e^{-3t}, o lado direito fica 2\,i_s(t)=4e^{-3t}.Portanto a ODE final é \boxed{\\ \frac{d^2 i}{dt^2}+2\,i(t)=4e^{-3t}\\ }.
  • Condições iniciais (hipótese: circuito sem energia antes de t=0, ou seja v(0)=0 e i(0)=0):
    • i(0)=0.
    • Para obter i'(0) uso a relação v(0)=L\,i'(0)+10. Como v(0)=0 e L=1, tenho 0 = 1\cdot i'(0)+10 \quad\Rightarrow\quad i'(0)=-10.

Passo 4

Resolvo a equação diferencial homogênea e encontro uma solução particular — método clássico.
  • Equação homogênea associada: i_h''+2 i_h=0.Equação característica: r^2+2=0 com raízes r=\pm j\sqrt{2}. Logo i_h(t)=A\cos(\sqrt{2}\,t)+B\sin(\sqrt{2}\,t),onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
  • Procuramos uma solução particular da forma i_p(t)=K e^{-3t} (já que o forçamento é um exponencial e^{-3t}). Calculo as derivadas: i_p''(t)=K\cdot 9 e^{-3t}.Substituindo na ODE: 9K e^{-3t}+2K e^{-3t}=4 e^{-3t}.Assim (9+2)K=4\Rightarrow 11K=4\Rightarrow K=\tfrac{4}{11}.
    Portanto i_p(t)=\frac{4}{11}e^{-3t}.
  • A solução geral é i(t)=A\cos(\sqrt{2}\,t)+B\sin(\sqrt{2}\,t)+\frac{4}{11}e^{-3t}.

Passo 5

Determino A e B usando as condições iniciais i(0)=0 e i'(0)=-10.
  • Avaliando em t=0: i(0)=A + 0 + \frac{4}{11}=0 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{4}{11}.
  • Calculo i'(t). Derivando i(t): i'(t) = -A\sqrt{2}\,\sin(\sqrt{2}\,t)+B\sqrt{2}\,\cos(\sqrt{2}\,t) -\frac{12}{11}e^{-3t}.Em t=0: i'(0)=0 + B\sqrt{2} -\frac{12}{11}.Igualando a condição i'(0)=-10: B\sqrt{2}-\frac{12}{11}=-10.Isolando B\sqrt{2}: B\sqrt{2} = -10+\frac{12}{11} = -\frac{110}{11}+\frac{12}{11} = -\frac{98}{11}.Portanto B = -\frac{98}{11\sqrt{2}}.Simplificando o fator com \sqrt{2}: B = -\frac{98}{11\sqrt{2}} = -\frac{98\sqrt{2}}{11\cdot 2} = -\frac{49\sqrt{2}}{11}.

Passo 6

Escrevo a solução completa e a simplifico um pouco para ficar mais apresentável.
  • Substituindo A e B em i(t): i(t) = -\frac{4}{11}\cos(\sqrt{2}\,t)\;-\;\frac{49\sqrt{2}}{11}\sin(\sqrt{2}\,t)\;+\;\frac{4}{11}e^{-3t}.
  • Podemos colocar em fator comum 1/11: i(t)=\frac{1}{11}\Big(-4\cos(\sqrt{2}\,t)-49\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}\,t)+4e^{-3t}\Big).

Passo 7

Pequena verificação rápida (sanity check)
  • Em t=0, usando a forma final: i(0)=\frac{1}{11}\big(-4\cdot1 -0 +4\cdot1\big)=0,que confere com a condição inicial i(0)=0.
  • A solução tem o termo forçado \tfrac{4}{11}e^{-3t} (resposta direta ao gerador exponencial) e modos oscilatórios com frequência natural \sqrt{2}, coerente com L e C dados ( \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{1\cdot1/2}}=\sqrt{2}).

Resposta

i(t)=\frac{1}{11}\Big(-4\cos(\sqrt{2}\,t)-49\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}\,t)+4e^{-3t}\Big)\quad\text{para }t\ge0.

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