6)Encontre o valor de
para
, sabendo que
e que
.
Passo 1
Resumo do que o enunciado e a figura nos dão e a pergunta que temos que responder.
- O enunciado diz explicitamente que
(A). Peguei essa expressão na figura/enunciado. - Peguei da imagem os valores dos elementos:
-
, -
, -
.
-
- A imagem mostra também uma fonte de
do lado direito e dois interruptores indicados com o instante . A seta na figura indica a corrente através do indutor da esquerda para a direita. (Lista dos dados extraídos da imagem completa na seção “
Passo 2
Modelagem do circuito para
— equações fundamentais (KCL / leis dos elementos) e escolha das variáveis.
- Defino
como a tensão no nó esquerdo (sobre o capacitor), que é também a tensão do capacitor . - A corrente pedida
é a corrente no indutor da esquerda para a direita (conforme seta da figura). - Observação importante (peguei da imagem): quando o interruptor direito fecha em
, o nó direito fica conectado ao terminal positivo da fonte de . Assim, para o potencial do nó direito é fixo e igual a . (Isto torna a tensão no nó direito conhecida: .) - Escrevo as equações dos elementos:
- Capacitor:
. - Indutor:
. - Geometria: a tensão no indutor é a diferença entre o nó esquerdo e o nó direito, isto é
- Capacitor:
- Aplicando KCL no nó esquerdo (o nó do capacitor): a corrente fornecida pelo gerador de corrente entra no nó e divide-se entre o capacitor e o indutor:
- Usando a relação do indutor para substituir
em termos de : Diferenciando essa relação: - Substituo
na equação KCL: Esta é a equação diferencial que governa para . Note que a resistência não aparece nesta equação porque, com o nó direito preso por uma fonte ideal de , a resistência está em paralelo com essa fonte e não afeta diretamente a KCL do nó esquerdo (isto já foi observado a partir da figura).
Passo 3
Coloco os valores numéricos e simplifico a equação diferencial; determino as condições iniciais (com a hipótese de circuito sem energia antes de
).
- Substituo
e na equação Assim Multiplicando por : - Como
, o lado direito fica Portanto a ODE final é - Condições iniciais (hipótese: circuito sem energia antes de
, ou seja e ): -
. - Para obter
uso a relação . Como e , tenho
-
Passo 4
Resolvo a equação diferencial homogênea e encontro uma solução particular — método clássico.
- Equação homogênea associada:
Equação característica: com raízes . Logo onde e são constantes a determinar pelas condições iniciais. - Procuramos uma solução particular da forma
(já que o forçamento é um exponencial ). Calculo as derivadas: Substituindo na ODE: Assim .
Portanto - A solução geral é
Passo 5
Determino
e
usando as condições iniciais
e
.
- Avaliando em
: - Calculo
. Derivando : Em : Igualando a condição : Isolando : Portanto Simplificando o fator com :
Passo 6
Escrevo a solução completa e a simplifico um pouco para ficar mais apresentável.
- Substituindo
e em : - Podemos colocar em fator comum
:
Passo 7
Pequena verificação rápida (sanity check)
- Em
, usando a forma final: que confere com a condição inicial . - A solução tem o termo forçado
(resposta direta ao gerador exponencial) e modos oscilatórios com frequência natural , coerente com e dados ( ).