Uma LT sem perdas com Z_{0}=100 \Omega e 0,269 \lambda de comprimento é terminada em uma carga Z_{L}= 60+j 40 \Omega. Utilize a Carta de Smith para determinar:
(a) \Gamma_{L}
(b) ROTE
(c) Z_{\text {in }}
(d) A distância a partir da carga até o primeiro máximo de tensão

Passo 1

O enunciado dá uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica Z_{0}=100\\ \Omega e comprimento l=0{,}269\,\lambda, terminada por Z_{L}=60+j\,40\\ \Omega. O que se pede:
  • (a) \Gamma_{L} (coeficiente de reflexão na carga);
  • (b) ROTE (vou interpretar ROTE como a ROE / VSWR — Relação de Onda Estacionária de Tensão);
  • (c) Z_{\text{in}} (impedância de entrada na extremidade oposta à carga, na distância l da carga);
  • (d) a distância a partir da carga até o primeiro máximo de tensão (medida em fração de \lambda).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Z_{0}=100\\ \Omega.
  • Z_{L}=60+j\,40\\ \Omega.
  • l=0{,}269\,\lambda.
    A resolução começará a seguir; não se preocupe, eu vou explicar cada fórmula e cada passo como se estivéssemos usando a Carta de Smith (normalização, localização, rotação), mas fazendo os cálculos analiticamente para obter valores numéricos precisos.

Passo 2

Normalização e fórmula do coeficiente de reflexão na carga.
Na Carta de Smith trabalha‑se com impedância normalizada:
z_{L}=\frac{Z_{L}}{Z_{0}}.
Explicação didática: normalizar significa dividir a impedância pela impedância característica para estudar tudo em termos adimensionais na Carta de Smith; na prática se desenha o ponto z_{L} e a partir dele lê‑se o coeficiente de reflexão. A fórmula direta (não‑normalizada) para o coeficiente de reflexão na carga é
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
Vou usar essa última porque é direta e equivalente a usar o ponto z_{L} na Carta.
Calculemos primeiro z_{L}:
z_{L}=\frac{60+j\,40}{100}=0{,}6+j\,0{,}4.
Comentário: na Carta de Smith, esse ponto 0{,}6+j\,0{,}4 seria localizado, e o vetor a partir da origem até esse ponto corresponderia a \Gamma_{L}. Agora vamos calcular \Gamma_{L} numericamente.

Passo 3

Cálculo de \Gamma_{L} passo a passo (forma retangular e polar).
Usando a fórmula:
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}=\frac{(60+j\,40)-100}{(60+j\,40)+100} =\frac{-40+j\,40}{160+j\,40}.
Fazendo a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador):
\Gamma_{L}=\frac{(-40+j\,40)(160-j\,40)}{160^{2}+40^{2}}.
Calculemos numerador e denominador separadamente:
160^{2}+40^{2}=25600+1600=27200.
Multiplicando o numerador:
(-40)(160)=-6400,\quad (-40)(-j40)=+j1600,
(j40)(160)=j6400,\quad (j40)(-j40)=+1600.
Somando as partes reais e imaginárias:
\text{num}=-6400+1600 + j(1600+6400) = -4800 + j\,8000.
Portanto
\Gamma_{L}=\frac{-4800 + j\,8000}{27200}=-0{,}17647 + j\,0{,}29412\quad(\text{aprox.}).
Agora a forma polar (magnitude e ângulo), úteis na Carta de Smith:
\lvert\Gamma_{L}\rvert=\sqrt{(-0{,}17647)^{2}+(0{,}29412)^{2}}\approx 0{,}34302.
Ângulo (em radianos e graus):
\angle\Gamma_{L}=\operatorname{atan2}(0{,}29412,-0{,}17647)\approx 2{,}111\\ \text{rad}\approx 120{,}96^\circ.
Interpretação: na Carta de Smith isso corresponde ao ponto normalizado 0{,}6+j0{,}4 e ao vetor reflexão com módulo 0{,}343 e ângulo 120{,}96^\circ.

Passo 4

Cálculo da ROTE (VSWR / ROE).
Fórmula e explicação: a ROE (VSWR) mede a razão entre máximo e mínimo de tensão ao longo da linha; é dada por
\mathrm{ROE}=\frac{1+\lvert\Gamma_{L}\rvert}{1-\lvert\Gamma_{L}\rvert}.
Substituindo \lvert\Gamma_{L}\rvert\approx0{,}34302:
\mathrm{ROE}=\frac{1+0{,}34302}{1-0{,}34302}=\frac{1{,}34302}{0{,}65698}\approx 2{,}0447.
Arredondando de forma prática: \mathrm{ROE}\approx 2{,}045.
Comentário: na Carta de Smith, a ROE pode ser lida como círculos concêntricos (círculos de constante |\Gamma|). Um |\Gamma| de 0{,}343 corresponde a ROE ≈ 2,05.

Passo 5

Cálculo da impedância de entrada Z_{\text{in}} à distância l=0{,}269\,\lambda da carga (na extremidade oposta).
Fórmula (linha sem perdas):
Z_{\text{in}}=Z_{0}\,\frac{Z_{L}+jZ_{0}\tan(\beta l)}{\,Z_{0}+jZ_{L}\tan(\beta l)\,},
onde \beta=\dfrac{2\pi}{\lambda} é a constante de fase. Explicação: na Carta de Smith, mover-se ao longo da linha corresponde a virar o ponto no círculo por um ângulo 2\beta l no plano do coeficiente de reflexão; a fórmula acima é a forma analítica equivalente.
Calculemos \tan(\beta l). Como \beta l=2\pi\cdot 0{,}269,
\beta l \approx 2\pi\times 0{,}269 \approx 1{,}690\\ \text{rad}.
Avaliação de \tan(1{,}690). Observando que 1{,}690 está um pouco além de \pi/2 ( \pi/2\approx1{,}571), escrevemos 1{,}690=\pi/2+0{,}1192, então
\tan(1{,}690)=\tan\!\big(\tfrac{\pi}{2}+0{,}1192\big)=-\cot(0{,}1192)\approx -8{,}343.
Agora monte os termos:
jZ_{0}\tan(\beta l)=j\cdot 100\cdot(-8{,}343)=-j\,834{,}3.
Z_{L}+jZ_{0}\tan(\beta l)=60+j40 - j834{,}3 = 60 - j794{,}3.
jZ_{L}\tan(\beta l)=j(60+j40)(-8{,}343).
Façamos esse produto com cuidado:
(60+j40)(-8{,}343)=-500{,}58 - j333{,}72,
multiplicando por j
jZ_{L}\tan(\beta l)=j(-500{,}58 - j333{,}72) = -j500{,}58 + 333{,}72.
Então
Z_{0}+jZ_{L}\tan(\beta l)=100 + 333{,}72 - j500{,}58 = 433{,}72 - j500{,}58.
Agora a divisão:
\frac{60 - j794{,}3}{433{,}72 - j500{,}58}\approx 0{,}9636 - j0{,}7160
(veja cálculo detalhado nos passos aritméticos — é o resultado da divisão complexa). Multiplicando por Z_{0}=100:
Z_{\text{in}}\approx 100\,(0{,}9636 - j0{,}7160)=96{,}36 - j\,71{,}60\\ \Omega.
Conferência alternativa (modo equivalente à Carta): traduzindo \Gamma_{L} ao longo da linha para obter \Gamma_{\text{in}}=\Gamma_{L}e^{-j2\beta l} e depois usando Z_{\text{in}}=Z_{0}\dfrac{1+\Gamma_{\text{in}}}{1-\Gamma_{\text{in}}} dá o mesmo resultado numérico (checagem feita nos cálculos).

Passo 6

Distância a partir da carga até o primeiro máximo de tensão.
Explicação conceitual: a tensão ao longo da linha é proporcional a 1+\Gamma(z) com \Gamma(z)=\Gamma_{L}e^{-j2\beta z}, onde z é a distância medida a partir da carga em direção ao gerador. Um máximo de tensão ocorre quando \Gamma(z) está em fase com a unidade (isto é, quando o argumento de \Gamma(z) é 0 modulo 2\pi). Assim a condição para máximos é
\angle\Gamma_{L} - 2\beta z = 2\pi m,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Tomando o primeiro máximo (menor z\ge 0), escolhe‑se m tal que 0\le z<\lambda/2. Da equação obtemos a posição do primeiro máximo:
z_{\max}=\frac{\angle\Gamma_{L}}{2\beta}.
Convertendo para fração de comprimento de onda \lambda: como \beta=2\pi/\lambda,
\frac{z_{\max}}{\lambda}=\frac{\angle\Gamma_{L}}{4\pi}.
Usando \angle\Gamma_{L}\approx 2{,}111\\ \text{rad}:
\frac{z_{\max}}{\lambda}=\frac{2{,}111}{4\pi}\approx 0{,}1680.
Portanto o primeiro máximo de tensão a partir da carga ocorre a
z_{\max}\approx 0{,}168\,\lambda
em direção ao gerador. Observação prática: isso está dentro do comprimento da linha dado ( l=0{,}269\,\lambda), então o primeiro máximo realmente aparece antes da outra extremidade.

Resposta

(a) \Gamma_{L} \approx -0{,}17647 + j\,0{,}29412 \;(\lvert\Gamma_{L}\rvert\approx 0{,}34302,\\ \angle\Gamma_{L}\approx 120{,}96^\circ)
(b) \mathrm{ROE}\approx 2{,}045
(c) Z_{\text{in}}\approx 96{,}36 - j\,71{,}60\\ \Omega
(d) distância até o primeiro máximo de tensão: z_{\max}\approx 0{,}168\,\lambda

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