Uma LT sem perdas com
e
de comprimento é terminada em uma carga
. Utilize a Carta de Smith para determinar:
(a)
(b) ROTE
(c)
(d) A distância a partir da carga até o primeiro máximo de tensão
(a)
(b) ROTE
(c)
(d) A distância a partir da carga até o primeiro máximo de tensão
Passo 1
O enunciado dá uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica
e comprimento
, terminada por
. O que se pede:
- (a)
(coeficiente de reflexão na carga); - (b) ROTE (vou interpretar ROTE como a ROE / VSWR — Relação de Onda Estacionária de Tensão);
- (c)
(impedância de entrada na extremidade oposta à carga, na distância da carga); - (d) a distância a partir da carga até o primeiro máximo de tensão (medida em fração de
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. -
.
A resolução começará a seguir; não se preocupe, eu vou explicar cada fórmula e cada passo como se estivéssemos usando a Carta de Smith (normalização, localização, rotação), mas fazendo os cálculos analiticamente para obter valores numéricos precisos.
Passo 2
Normalização e fórmula do coeficiente de reflexão na carga.
Na Carta de Smith trabalha‑se com impedância normalizada:
Na Carta de Smith trabalha‑se com impedância normalizada:
Explicação didática: normalizar significa dividir a impedância pela impedância característica para estudar tudo em termos adimensionais na Carta de Smith; na prática se desenha o ponto
e a partir dele lê‑se o coeficiente de reflexão. A fórmula direta (não‑normalizada) para o coeficiente de reflexão na carga é
Vou usar essa última porque é direta e equivalente a usar o ponto
na Carta.
Calculemos primeiro
:
Comentário: na Carta de Smith, esse ponto
seria localizado, e o vetor a partir da origem até esse ponto corresponderia a
. Agora vamos calcular
numericamente.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo (forma retangular e polar).
Usando a fórmula:
Fazendo a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador):
Calculemos numerador e denominador separadamente:
Multiplicando o numerador:
Somando as partes reais e imaginárias:
Portanto
Agora a forma polar (magnitude e ângulo), úteis na Carta de Smith:
Ângulo (em radianos e graus):
Interpretação: na Carta de Smith isso corresponde ao ponto normalizado
e ao vetor reflexão com módulo
e ângulo
.
Passo 4
Cálculo da ROTE (VSWR / ROE).
Fórmula e explicação: a ROE (VSWR) mede a razão entre máximo e mínimo de tensão ao longo da linha; é dada por
Fórmula e explicação: a ROE (VSWR) mede a razão entre máximo e mínimo de tensão ao longo da linha; é dada por
Substituindo
:
Arredondando de forma prática:
.
Comentário: na Carta de Smith, a ROE pode ser lida como círculos concêntricos (círculos de constante
). Um
de
corresponde a ROE ≈ 2,05.
Passo 5
Cálculo da impedância de entrada
à distância
da carga (na extremidade oposta).
Fórmula (linha sem perdas):
Fórmula (linha sem perdas):
onde
é a constante de fase. Explicação: na Carta de Smith, mover-se ao longo da linha corresponde a virar o ponto no círculo por um ângulo
no plano do coeficiente de reflexão; a fórmula acima é a forma analítica equivalente.
Calculemos
. Como
,
Avaliação de
. Observando que
está um pouco além de
(
), escrevemos
, então
Agora monte os termos:
Façamos esse produto com cuidado:
multiplicando por
dá
Então
Agora a divisão:
(veja cálculo detalhado nos passos aritméticos — é o resultado da divisão complexa). Multiplicando por
:
Conferência alternativa (modo equivalente à Carta): traduzindo
ao longo da linha para obter
e depois usando
dá o mesmo resultado numérico (checagem feita nos cálculos).
Passo 6
Distância a partir da carga até o primeiro máximo de tensão.
Explicação conceitual: a tensão ao longo da linha é proporcional a com
, onde
é a distância medida a partir da carga em direção ao gerador. Um máximo de tensão ocorre quando
está em fase com a unidade (isto é, quando o argumento de
é
modulo
). Assim a condição para máximos é
Explicação conceitual: a tensão ao longo da linha é proporcional a
Tomando o primeiro máximo (menor
), escolhe‑se
tal que
. Da equação obtemos a posição do primeiro máximo:
Convertendo para fração de comprimento de onda
: como
,
Usando
:
Portanto o primeiro máximo de tensão a partir da carga ocorre a
em direção ao gerador. Observação prática: isso está dentro do comprimento da linha dado (
), então o primeiro máximo realmente aparece antes da outra extremidade.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) distância até o primeiro máximo de tensão:
(b)
(c)
(d) distância até o primeiro máximo de tensão: