A impedância de entrada para uma LT sem perdas, de 100 \Omega e 1,162 \lambda de comprimento é medida como sendo 12+j 42 \Omega. Determine a impedância da carga.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Linha de transmissão sem perdas com impedância característica \;Z_0 = 100\\ \Omega.
  • Comprimento da linha \;l = 1{,}162\\ \lambda.
  • Impedância de entrada medida \;Z_{\text{in}} = 12 + j\,42\\ \Omega.
  • Pedido: determinar a impedância da carga \;Z_L.
Vamos usar a relação padrão de transformação de impedância em linha sem perdas e calcular \;Z_L a partir de \;Z_{\text{in}}, Z_0 e \beta l. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Fórmula que relaciona \;Z_{\text{in}} e \;Z_L para uma linha sem perdas de comprimento l:
Z_{\text{in}} = Z_0\;\frac{Z_L + j Z_0 \tan(\beta l)}{\,Z_0 + j Z_L \tan(\beta l)\,}.
Aqui:
  • \;Z_{\text{in}} é a impedância vista na entrada da linha (conhecida).
  • \;Z_0 é a impedância característica da linha (conhecida).
  • \;Z_L é a impedância da carga que queremos achar.
  • \;\beta é a constante de fase: para linha sem perdas \;\beta = \dfrac{2\pi}{\lambda}.
  • \;\tan(\beta l) depende só do comprimento em termos de comprimento de onda.
Agora vamos isolar \;Z_L. Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
Z_{\text{in}}\big(Z_0 + j Z_L \tan(\beta l)\big) = Z_0\big(Z_L + j Z_0 \tan(\beta l)\big).
Expandindo e agrupando os termos que contêm Z_L:
Z_{\text{in}}Z_0 + j Z_{\text{in}} Z_L \tan(\beta l) = Z_0 Z_L + j Z_0^2 \tan(\beta l).
Colocando os termos com Z_L juntos:
j Z_{\text{in}} \tan(\beta l)\;Z_L - Z_0 Z_L = j Z_0^2 \tan(\beta l) - Z_{\text{in}} Z_0.
Fatorando Z_L:
Z_L\big(j Z_{\text{in}} \tan(\beta l) - Z_0\big) = j Z_0^2 \tan(\beta l) - Z_{\text{in}} Z_0.
Portanto a expressão para \;Z_L é
Z_L = Z_0\;\frac{j Z_0 \tan(\beta l) - Z_{\text{in}}}{\,j Z_{\text{in}} \tan(\beta l) - Z_0\,}.
Explicação rápida: esse passo é só álgebra elementar — multiplicar, recolher termos com Z_L e isolar. Tudo no próximo passo será substituição numérica.

Passo 3

Calcular \beta l e \tan(\beta l).
Como \;\beta = \dfrac{2\pi}{\lambda} e l = 1{,}162\\ \lambda,
\beta l = 2\pi \cdot 1{,}162 \approx 7{,}300999\\ \text{rad}.
A tangente tem período \pi, então podemos reduzir \beta l módulo \pi para facilitar o cálculo:
7{,}300999 - 2\pi \approx 7{,}300999 - 6{,}283185 = 1{,}017814\\ \text{rad}.
Logo
\tan(\beta l) = \tan(1{,}017814) \approx 1{,}6209.
Observação pedagógica: reduzir o ângulo por subtração de múltiplos de \pi é útil porque a tangente repete a cada \pi. Também é comum converter para graus para intuir o valor (aqui 1{,}0178\\ \text{rad}\approx 58{,}324^\circ, cuja tangente é \approx 1{,}6209).

Passo 4

Substituir os valores numéricos na fórmula para Z_L.
Dados:
Z_0 = 100\\ \Omega,\qquad \tan(\beta l) \approx 1{,}6209,\qquad Z_{\text{in}} = 12 + j\,42\\ \Omega.
Calcular primeiro j Z_0 \tan(\beta l):
j Z_0 \tan(\beta l) = j\cdot 100 \cdot 1{,}6209 = j\,162{,}09.
Numerador da fração (antes de multiplicar por Z_0 no fator): j Z_0 \tan(\beta l) - Z_{\text{in}} = -12 + j(162{,}09 - 42) = -12 + j\,120{,}09.
Multiplicando por Z_0 conforme a expressão final:
\text{Numerador} = Z_0\big(j Z_0 \tan(\beta l) - Z_{\text{in}}\big) = 100\big(-12 + j\,120{,}09\big) = -1200 + j\,12009.
Agora o denominador: calcular j Z_{\text{in}} \tan(\beta l).
Primeiro j Z_{\text{in}} = j(12 + j42) = -42 + j\,12.
Multiplicando por \tan(\beta l):
j Z_{\text{in}} \tan(\beta l) = (-42 + j\,12)\cdot 1{,}6209 = -68{,}0778 + j\,19{,}4508.
Então
\text{Denominador} = j Z_{\text{in}} \tan(\beta l) - Z_0 = (-68{,}0778 - 100) + j\,19{,}4508 = -168{,}0778 + j\,19{,}4508.
Resumo dos termos prontos para a divisão:
Z_L = \frac{-1200 + j\,12009}{-168{,}0778 + j\,19{,}4508}.

Passo 5

Fazer a divisão de números complexos. Escrevendo
\frac{a + j b}{c + j d} = \frac{(a+jb)(c-jd)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + j(bc - a d)}{c^2 + d^2}.
Aqui a=-1200,\\ b=12009,\\ c=-168{,}0778,\\ d=19{,}4508.
Calcular c^2 + d^2:
c^2 + d^2 \approx 168{,}0778^2 + 19{,}4508^2 \approx 28\,250{,}147 + 378{,}326 \approx 28\,628{,}472.
Calcular ac + bd:
ac = (-1200)(-168{,}0778) = 201\,693{,}36,
bd = 12009\cdot 19{,}4508 \approx 233\,584{,}6572,
ac + bd \approx 435\,278{,}0172.
Calcular bc - a d:
bc = 12009\cdot(-168{,}0778) \approx -2\,018\,446{,}3002,
-a d = -(-1200)\cdot 19{,}4508 = 23\,340{,}96,
bc - a d \approx -2\,041\,787{,}2602.
Dividindo cada parte por c^2 + d^2 \approx 28\,628{,}472:
\Re\{Z_L\} \approx \frac{435\,278{,}0172}{28\,628{,}472} \approx 15{,}2044,
\Im\{Z_L\} \approx \frac{-2\,041\,787{,}2602}{28\,628{,}472} \approx -71{,}3202.
Arredondando para uma escrita prática, obtemos
Z_L \approx 15{,}2 - j\,71{,}3\\ \Omega.
Breve comentário de incentivo: deu bastante conta de aritmética complexa, mas é sempre a mesma ideia — transformar a relação e fazer a divisão complexa; isso cai muito na prova.

Resposta

Z_L \approx 15{,}2 - j\,71{,}3\\ \Omega

Exercícios relacionados