Posicione em uma Carta de Smith as seguintes impedâncias de carga terminando uma LT de 50 \Omega :
Z_{L}=j 25 \Omega

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Impedância característica da linha: Z_{0}=50\\ \Omega.
  • Impedância de carga: Z_{L}=j\,25\\ \Omega.
O que se pede:
  • Posicionar essa impedância na Carta de Smith (ou seja, indicar onde marcar esse ponto na Carta).

Passo 2

Primeiro conceito que precisamos: normalizar a impedância. A Carta de Smith trabalha com impedâncias normalizadas para Z_{0}=1. A normalização é feita dividindo a impedância pela impedância característica Z_{0}. A fórmula é
z=\frac{Z}{Z_{0}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • Z é a impedância (em ohms) que queremos plotar;
  • Z_{0} é a impedância característica da linha (em ohms);
  • z é a impedância normalizada (adimensional), que é o que se usa na Carta de Smith.
Na prova: primeiro passo sempre normalize — isso dá uma coordenada direta na Carta.

Passo 3

Normalizando a carga dada:
z_{L}=\frac{Z_{L}}{Z_{0}}=\frac{j\,25}{50}=j\,0,5.
Interpretação prática: z_{L}=0 + j\,0,5 — ou seja, resistência 0 e reatância indutiva positiva 0,5. Na Carta de Smith isso corresponde a um ponto sobre o eixo dos reatances positivas (acima do eixo real), na curva de reatância constante x=+0,5.

Passo 4

Para localizar exatamente o ponto na Carta também podemos calcular o coeficiente de reflexão na carga \Gamma_{L}. A relação entre impedância normalizada z e coeficiente de reflexão \Gamma é
\Gamma=\frac{z-1}{z+1}.
Explicando os símbolos:
  • \Gamma é um número complexo que representa a posição na Carta de Smith (módulo é a distância do centro, argumento é o ângulo no círculo externo);
  • z é a impedância normalizada já encontrada.

Passo 5

Calculando \Gamma_{L} para z_{L}=j\,0,5:
\Gamma_{L}=\frac{j\,0,5-1}{j\,0,5+1}.
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador (1-j\,0,5):
\Gamma_{L}=\frac{(j\,0,5-1)(1-j\,0,5)}{(1+j\,0,5)(1-j\,0,5)} =\frac{-1 + j\,0,5 + j\,0,5 +0,25}{1+0,25}.
Agora somando os termos no numerador:
-1 + j\,1,0 +0,25 = -0,75 + j\,1,0,
e o denominador é 1,25. Então
\Gamma_{L}=\frac{-0,75 + j\,1,0}{1,25} = -0,6 + j\,0,8.

Passo 6

Agora calculamos módulo e argumento de \Gamma_{L}, pois esses são úteis para posicionar o ponto na Carta:
  • Módulo:
|\Gamma_{L}|=\sqrt{(-0,6)^{2}+(0,8)^{2}}=\sqrt{0,36+0,64}=\sqrt{1}=1.
  • Argumento (fase) — atenção ao quadrante: a parte real é negativa e a imaginária é positiva, logo o ângulo está no segundo quadrante.
\angle\Gamma_{L}=\operatorname{atan2}(0,8,-0,6)\approx 126,87^\circ.
Observação: como a impedância é puramente reativa, não há dissipação de potência na carga; isso aparece como |\Gamma_{L}|=1 (reflexão total).

Passo 7

Como isso se traduz em instruções práticas para marcar na Carta de Smith (o que você precisa fazer na prova, passo a passo):
  1. Normalize: marque o valor z_{L}=j\,0,5.
  2. Na Carta, localize a curva de reatância constante x=+0,5 (reatância indutiva). Essa curva cruza a circunferência externa da Carta exatamente num ponto.
  3. Como |\Gamma_{L}|=1, o ponto estará sobre a borda externa (circunferência) da Carta de Smith.
  4. A posição angular desse ponto, medida a partir do eixo real positivo indo no sentido anti-horário, é aproximadamente 126,87^\circ. Alternativamente, encontre a intersecção da curva x=+0,5 com a circunferência externa — esse é o ponto que você marca.
  5. Se preferir marcar pelo coeficiente de reflexão, plote o ponto com coordenadas cartesianas (\operatorname{Re}\Gamma,\operatorname{Im}\Gamma)=(-0,6,\;0,8) na grade da Carta (ou use régua e transferidor para o ângulo e raio).

Passo 8

Notas finais e interpretação física curta:
  • |\Gamma_{L}|=1 implica SWR infinito ( \text{SWR}=\dfrac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|} diverge) — significa linha totalmente refletora (carga reativa pura).
  • O ponto representa uma carga puramente indutiva leve (reatância normalizada +0,5) localizada na borda da Carta no ângulo indicado.

Resposta

z_{L}=j\,0,5. \Gamma_{L}=-0,6 + j\,0,8 (módulo |\Gamma_{L}|=1, fase \angle\Gamma_{L}\approx126,87^\circ). Na Carta de Smith: marque a interseção da curva de reatância x=+0,5 com a circunferência externa (ponto na borda com ângulo \approx126,87^\circ).

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