12.42* Determine
para cada uma das seguintes funções:
c)
Passo 1
O enunciado dá a função de Laplace
e pede determinar
, ou seja, a transformada inversa de Laplace
.
Informações relevantes que temos: o numerador é de grau 2 e o denominador de grau 1 (logo a razão não é própria), e o resultado deverá ser escrito como função de para
(incluindo possíveis impulsos em
).
Informações relevantes que temos: o numerador é de grau 2 e o denominador de grau 1 (logo a razão não é própria), e o resultado deverá ser escrito como função de
Passo 2
Primeiro passo técnico: transformar
numa soma de um polinômio em
mais uma fração própria, fazendo divisão de polinômios. Vou dividir
por
.
Dividindo passo a passo:
Multiplicando
por
obtém-se
. Subtraindo desse o numerador:
Agora divide
por
: o quociente é
porque
. Subtraindo:
Portanto a divisão completa dá
Passo 3
Agora vamos usar propriedades básicas da transformada de Laplace e da transformada inversa, com calma:
-
Linearidade:
. -
Transformadas usuais que vamos usar:
- A transformada de Laplace do impulso de Dirac
é Isso significa que . - A transformada de Laplace da derivada do impulso
(no sentido de distribuições) é Logo .
Observação didática rápida: essas últimas identidades envolvem distribuições (impulsos), mas são padrão em tabelas de Laplace; se ainda não viuem teoria, pense que termos polinomiais em correspondem a combinações de e suas derivadas localizadas em . - A transformada de Laplace do exponencial causal é
portanto e por linearidade - Aqui
é o degrau unitário (Heaviside), que garante causalidade; para impulsos não se escreve multiplicação por porque já está concentrado em .
- A transformada de Laplace do impulso de Dirac
Passo 4
Aplicando a transformada inversa termo a termo a partir da decomposição obtida no Passo 2:
Pelo que acabamos de listar:
-
. -
. -
.
Usando linearidade, somamos os três resultados.
Passo 5
Juntando tudo, obtemos a função no tempo: