12.42* Determine f(t) para cada uma das seguintes funções:
c) \quad F(s)=\frac{s^{2}+25 s+150}{s+20}

Passo 1

O enunciado dá a função de Laplace
F(s)=\frac{s^{2}+25s+150}{s+20}
e pede determinar f(t), ou seja, a transformada inversa de Laplace f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações relevantes que temos: o numerador é de grau 2 e o denominador de grau 1 (logo a razão não é própria), e o resultado deverá ser escrito como função de t para t\ge0 (incluindo possíveis impulsos em t=0).

Passo 2

Primeiro passo técnico: transformar F(s) numa soma de um polinômio em s mais uma fração própria, fazendo divisão de polinômios. Vou dividir s^{2}+25s+150 por s+20.
Dividindo passo a passo:
\frac{s^{2}+25s+150}{s+20}=s+\text{(resto)}/(s+20).
Multiplicando s por s+20 obtém-se s^{2}+20s. Subtraindo desse o numerador:
(s^{2}+25s+150)-(s^{2}+20s)=5s+150.
Agora divide 5s+150 por s+20: o quociente é 5 porque 5(s+20)=5s+100. Subtraindo:
(5s+150)-(5s+100)=50.
Portanto a divisão completa dá
\frac{s^{2}+25s+150}{s+20}=s+5+\frac{50}{s+20}.

Passo 3

Agora vamos usar propriedades básicas da transformada de Laplace e da transformada inversa, com calma:
  • Linearidade: \mathcal{L}^{-1}\{A(s)+B(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}+\mathcal{L}^{-1}\{B(s)\}.
  • Transformadas usuais que vamos usar:
    • A transformada de Laplace do impulso de Dirac \delta(t) é \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.Isso significa que \mathcal{L}^{-1}\{1\}=\delta(t).
    • A transformada de Laplace da derivada do impulso \delta'(t) (no sentido de distribuições) é \mathcal{L}\{\delta'(t)\}=s.Logo \mathcal{L}^{-1}\{s\}=\delta'(t).
      Observação didática rápida: essas últimas identidades envolvem distribuições (impulsos), mas são padrão em tabelas de Laplace; se ainda não viu \delta em teoria, pense que termos polinomiais em s correspondem a combinações de \delta e suas derivadas localizadas em t=0.
    • A transformada de Laplace do exponencial causal é \mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\}=\frac{1}{s+a},portanto \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}u(t),e por linearidade \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{C}{s+a}\right\}=C\,e^{-at}u(t).
    • Aqui u(t) é o degrau unitário (Heaviside), que garante causalidade; para impulsos não se escreve multiplicação por u(t) porque \delta já está concentrado em t=0.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo a partir da decomposição obtida no Passo 2:
F(s)=s+5+\frac{50}{s+20}.
Pelo que acabamos de listar:
  • \mathcal{L}^{-1}\{s\}=\delta'(t).
  • \mathcal{L}^{-1}\{5\}=5\,\delta(t).
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{50}{s+20}\right\}=50\,e^{-20t}u(t).
Usando linearidade, somamos os três resultados.

Passo 5

Juntando tudo, obtemos a função no tempo:
f(t)=\delta'(t)+5\,\delta(t)+50\,e^{-20t}u(t).

Resposta

\displaystyle f(t)=\delta'(t)+5\,\delta(t)+50\,e^{-20t}u(t)

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