2 - Uma LT sem perdas, com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e comprimento \ell=2,25 \mathrm{~m}, alimenta uma carga \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=50+\mathrm{j} 100 \Omega.
A linha é alimentada por um gerador com tensão eficaz de 200 \mathrm{~V}_{\mathrm{rms}} e resistência interna de 50+\mathrm{j} 100 \Omega.
O comprimento de onda na linha é de 2,0 \mathrm{~m}. Calcular:
b) a potência (ativa ou média) na carga.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Linha sem perdas com impedância característica Z_{0}=50\\ \Omega.
  • Comprimento da linha \ell=2{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Carga Z_{L}=50+\mathrm{j}100\\ \Omega.
  • Gerador com tensão eficaz V_{g}=200\\ \mathrm{V}_{\mathrm{rms}} e resistência interna Z_{g}=50+\mathrm{j}100\\ \Omega.
  • Comprimento de onda na linha \lambda=2{,}0\\ \mathrm{m}.
O que o item (b) pede:
  • Calcular a potência ativa (média) na carga.

Passo 2

Primeiro calculo a constante de fase \beta e o argumento \beta\ell que aparecem nas fórmulas da linha de transmissão.
A definição é
\beta=\frac{2\pi}{\lambda},
onde \lambda é o comprimento de onda. Substituindo \lambda=2{,}0\\ \mathrm{m},
\beta=\frac{2\pi}{2{,}0}=\pi\\ \text{rad/m}.
Então
\beta\ell=\pi\cdot 2{,}25=2{,}25\pi.
A tangente aparece na fórmula do impedância de entrada; como \tan(\theta) tem período \pi, podemos reduzir
\tan(\beta\ell)=\tan(2{,}25\pi)=\tan\!\big(2\pi + 0{,}25\pi\big)=\tan\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=1.

Passo 3

Agora uso a fórmula da impedância de entrada de uma linha lossless de comprimento \ell:
Z_{\mathrm{in}}=Z_{0}\,\frac{Z_{L}+jZ_{0}\tan(\beta\ell)}{Z_{0}+jZ_{L}\tan(\beta\ell)},
onde
  • Z_{\mathrm{in}} é a impedância vista na entrada da linha (em \Omega);
  • Z_{0} é a impedância característica da linha (em \Omega);
  • Z_{L} é a impedância na carga (em \Omega);
  • \beta\ell é o produto calculado acima e \tan(\beta\ell) é a tangente dele.
Substituindo \tan(\beta\ell)=1, Z_{0}=50\\ \Omega e Z_{L}=50+j100\\ \Omega:
Z_{\mathrm{in}}=50\cdot\frac{(50+j100)+j50}{50+j(50+j100)}.
Calculo numerador e denominador separadamente:
  • Numerador: (50+j100)+j50=50+j150.
  • Denominador: 50+j(50+j100)=50+(j50-100)=(50-100)+j50=-50+j50.
Então
Z_{\mathrm{in}}=50\cdot\frac{50+j150}{-50+j50}.
Faço a divisão complexa: multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador -50-j50.
Produto no numerador:
(50+j150)(-50-j50)=5000 - j10000
(veja que o cálculo detalhado é: 50\cdot(-50)=-2500, 50\cdot(-j50)=-j2500, j150\cdot(-50)=-j7500, j150\cdot(-j50)=+7500; somando dá 5000-j10000).
Módulo ao quadrado do denominador:
|-50+j50|^{2}=(-50)^{2}+50^{2}=5000.
Portanto
\frac{50+j150}{-50+j50}=\frac{5000-j10000}{5000}=1-j2.
Multiplicando por 50:
Z_{\mathrm{in}}=50(1-j2)=50-j100\\ \Omega.

Passo 4

Agora trato a fonte e a impedância de entrada como um circuito série: o gerador V_{g} com Z_{g} em série com Z_{\mathrm{in}}. A corrente rms fornecida pela fonte é
I=\frac{V_{g}}{Z_{g}+Z_{\mathrm{in}}}.
Calculo a soma das impedâncias:
Z_{g}+Z_{\mathrm{in}}=(50+j100)+(50-j100)=100+ j0=100\\ \Omega.
Logo
I=\frac{200\\ \mathrm{V}}{100\\ \Omega}=2{,}0\\ \mathrm{A}\quad(\text{rms}).
Observação didática: a parte imaginária da impedância do gerador foi cancelada pela parte imaginária de Z_{\mathrm{in}}, deixando apenas resistência real: isso simplifica muito os cálculos!

Passo 5

Agora calculo a potência ativa média absorvida pela carga. Em uma linha sem perdas toda a potência real entregue na entrada da linha é dissipada na carga (a parte reativa apenas oscila energia entre campo e circuito). A potência média entregue à linha (e portanto à carga) pode ser escrita como
P_{L}=I_{\mathrm{rms}}^{2}\, \Re\{Z_{\mathrm{in}}\},
onde \Re\{Z_{\mathrm{in}}\} é a parte real de Z_{\mathrm{in}} (representa a resistência efetiva que consome potência real).
Temos I_{\mathrm{rms}}=2{,}0\\ \mathrm{A} e \Re\{Z_{\mathrm{in}}\}=50\\ \Omega. Assim
P_{L}=(2{,}0)^{2}\cdot 50=4\cdot 50=200\\ \mathrm{W}.
Breve explicação extra (para fixar): poderia também computar a corrente no próprio Z_{L} e usar P_{L}=|I_{L}|^{2}\Re\{Z_{L}\}. O resultado será o mesmo porque a linha sem perdas apenas transforma a impedância vista na entrada; a parte real de Z_{\mathrm{in}} representa exatamente a potência real absorvida por Z_{L}.

Resposta

200\\ \mathrm{W}

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