2 - Uma LT sem perdas, com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e comprimento \ell=2,25 \mathrm{~m}, alimenta uma carga \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=50+\mathrm{j} 100 \Omega.
A linha é alimentada por um gerador com tensão eficaz de 200 \mathrm{~V}_{\mathrm{rms}} e resistência interna de 50+\mathrm{j} 100 \Omega.
O comprimento de onda na linha é de 2,0 \mathrm{~m}. Calcular:
a) a corrente eficaz na entrada da linha;

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado nos dá (sem resolver ainda), pegando todos os números mencionados:
  • Impedância característica da linha: \mathrm{Z}_{0}=50\\ \Omega.
  • Comprimento da linha: \ell=2{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Carga ligada na extremidade da linha: \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=50+\mathrm{j}\,100\\ \Omega.
  • Gerador com tensão eficaz: V_g=200\\ \mathrm{V}_{\mathrm{rms}}.
  • Resistência interna (impedância interna) do gerador: \mathrm{Z}_g=50+\mathrm{j}\,100\\ \Omega.
  • Comprimento de onda na linha: \lambda=2{,}0\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede no item (a):
  • Calcular a corrente eficaz na entrada da linha, isto é, a corrente rms que sai do gerador e entra na linha (denotada por I_{\mathrm{in}}).

Passo 2

Relembrando (aula rápida e prática) a fórmula que usamos para a impedância de entrada de uma linha de transmissão lossless (sem perdas) de comprimento \ell terminada em uma carga \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}:
\mathrm{Z}_{\mathrm{in}}(\ell)=\mathrm{Z}_{0}\,\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}+\mathrm{j}\,\mathrm{Z}_{0}\tan(\beta\ell)}{\mathrm{Z}_{0}+\mathrm{j}\,\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}\tan(\beta\ell)}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathrm{Z}_{\mathrm{in}}(\ell) é a impedância vista na extremidade de entrada da linha (na posição do gerador).
  • \mathrm{Z}_{0} é a impedância característica da linha.
  • \mathrm{Z}_{\mathrm{L}} é a impedância na carga.
  • \beta é a constante de fase da linha, para linha lossless \beta=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
  • \tan(\beta\ell) aparece por causa da dependência trigonométrica da solução das equações da linha.
Vamos calcular \beta\ell com os dados que temos.

Passo 3

Calcular \beta\ell:
\beta=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{2{,}0}=\pi\\ \text{(rad/m)}.
Portanto
\beta\ell=\pi\cdot \ell=\pi\cdot 2{,}25 = 2{,}25\pi.
Note que 2{,}25\pi=\dfrac{9\pi}{4}. Como a tangente tem período \pi, temos
\tan\!\left(\beta\ell\right)=\tan\!\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\tan\!\left(2\pi+\frac{\pi}{4}\right)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
(ou seja, simplifica muito bem — ufa!)

Passo 4

Substituir \tan(\beta\ell)=1 na fórmula de \mathrm{Z}_{\mathrm{in}}. Primeiro escrevo \mathrm{j}\mathrm{Z}_0\tan(\beta\ell)=\mathrm{j}\mathrm{Z}_0\cdot 1=\mathrm{j}\mathrm{Z}_0 e \mathrm{j}\mathrm{Z}_L\tan(\beta\ell)=\mathrm{j}\mathrm{Z}_L\cdot 1=\mathrm{j}\mathrm{Z}_L.
Logo
\mathrm{Z}_{\mathrm{in}}=\mathrm{Z}_{0}\,\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}+\mathrm{j}\mathrm{Z}_{0}}{\mathrm{Z}_{0}+\mathrm{j}\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}.
Agora substituímos os valores numéricos: \mathrm{Z}_{0}=50\\ \Omega e \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=50+\mathrm{j}100\\ \Omega.
Calculemos numerador e denominador separadamente:
  • Numerador: \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}+\mathrm{j}\mathrm{Z}_{0}=(50+\mathrm{j}100)+\mathrm{j}50=50+\mathrm{j}150.
  • Denominador: \mathrm{Z}_{0}+\mathrm{j}\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=50+\mathrm{j}(50+\mathrm{j}100).
Cuidado ao multiplicar por \mathrm{j}: \mathrm{j}\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=\mathrm{j}(50+\mathrm{j}100)=\mathrm{j}50+\mathrm{j}^2 100=\mathrm{j}50-100.
Portanto
\mathrm{Z}_{0}+\mathrm{j}\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=50+(\,-100+\mathrm{j}50\,)=-50+\mathrm{j}50.

Passo 5

Temos agora
\mathrm{Z}_{\mathrm{in}}=50\cdot\frac{50+\mathrm{j}150}{-50+\mathrm{j}50}.
Vamos fazer a divisão complexa passo a passo. Escrevendo \dfrac{50+\mathrm{j}150}{-50+\mathrm{j}50}: usamos a fórmula
\frac{a+\mathrm{j}b}{c+\mathrm{j}d}=\frac{(ac+bd)+\mathrm{j}(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}.
Aqui a=50,\\ b=150,\\ c=-50,\\ d=50. Calculamos:
  • ac+bd=50\cdot(-50)+150\cdot50=-2500+7500=5000.
  • bc-ad=150\cdot(-50)-50\cdot50=-7500-2500=-10000.
  • c^{2}+d^{2}=(-50)^{2}+50^{2}=2500+2500=5000.
Logo
\frac{50+\mathrm{j}150}{-50+\mathrm{j}50}=\frac{5000-\mathrm{j}10000}{5000}=1-\mathrm{j}2.
Multiplicando por 50 (o \mathrm{Z}_0 que está na frente),
\mathrm{Z}_{\mathrm{in}}=50(1-\mathrm{j}2)=50-\mathrm{j}100\\ \Omega.

Passo 6

Interpretando o resultado: a impedância de entrada da linha vista pelo gerador é
\mathrm{Z}_{\mathrm{in}}=50-\mathrm{j}100\\ \Omega.
Agora o circuito visto pelo gerador é a sua impedância interna \mathrm{Z}_g=50+\mathrm{j}100\\ \Omega em série com \mathrm{Z}_{\mathrm{in}}. Portanto a impedância total em série que limita a corrente é
\mathrm{Z}_{\mathrm{tot}}=\mathrm{Z}_g+\mathrm{Z}_{\mathrm{in}}=(50+\mathrm{j}100)+(50-\mathrm{j}100)=100+\mathrm{j}0=100\\ \Omega.
Note a beleza desse cancelamento: a parte imaginária do gerador cancelou a parte imaginária de \mathrm{Z}_{\mathrm{in}}, sobrando uma resistência pura.

Passo 7

A corrente eficaz (rms) que entra na linha é a corrente fornecida pelo gerador, dada por
I_{\mathrm{in}}=\frac{V_g}{\mathrm{Z}_{\mathrm{tot}}}.
Como V_g=200\\ \mathrm{V}_{\mathrm{rms}} e \mathrm{Z}_{\mathrm{tot}}=100\\ \Omega (real), temos magnitude e fase simples:
I_{\mathrm{in}}=\frac{200}{100}=2\\ \mathrm{A}_{\mathrm{rms}}.
Como a impedância total é real positiva, a corrente está em fase com a tensão do gerador (ângulo 0^\circ) — mas geralmente, quando pedem só a corrente eficaz, o importante é o valor rms.

Resposta

\;I_{\mathrm{in}}=2\\ \mathrm{A}_{\mathrm{rms}}

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