2 - Uma LT sem perdas, com
e comprimento
, alimenta uma carga
.
A linha é alimentada por um gerador com tensão eficaz de
e resistência interna de
.
O comprimento de onda na linha é de
. Calcular:
a) a corrente eficaz na entrada da linha;
A linha é alimentada por um gerador com tensão eficaz de
O comprimento de onda na linha é de
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado nos dá (sem resolver ainda), pegando todos os números mencionados:
- Impedância característica da linha:
. - Comprimento da linha:
. - Carga ligada na extremidade da linha:
. - Gerador com tensão eficaz:
. - Resistência interna (impedância interna) do gerador:
. - Comprimento de onda na linha:
.
O que o enunciado pede no item (a):
- Calcular a corrente eficaz na entrada da linha, isto é, a corrente rms que sai do gerador e entra na linha (denotada por
).
Passo 2
Relembrando (aula rápida e prática) a fórmula que usamos para a impedância de entrada de uma linha de transmissão lossless (sem perdas) de comprimento
terminada em uma carga
:
Explicando cada símbolo:
-
é a impedância vista na extremidade de entrada da linha (na posição do gerador). -
é a impedância característica da linha. -
é a impedância na carga. -
é a constante de fase da linha, para linha lossless . -
aparece por causa da dependência trigonométrica da solução das equações da linha.
Vamos calcular
com os dados que temos.
Passo 3
Calcular
:
Portanto
Note que
. Como a tangente tem período
, temos
(ou seja, simplifica muito bem — ufa!)
Passo 4
Substituir
na fórmula de
. Primeiro escrevo
e
.
Logo
Agora substituímos os valores numéricos:
e
.
Calculemos numerador e denominador separadamente:
- Numerador:
- Denominador:
Cuidado ao multiplicar por
:
Portanto
Portanto
Passo 5
Temos agora
Vamos fazer a divisão complexa passo a passo. Escrevendo
: usamos a fórmula
Aqui
. Calculamos:
Logo
Multiplicando por
(o
que está na frente),
Passo 6
Interpretando o resultado: a impedância de entrada da linha vista pelo gerador é
Agora o circuito visto pelo gerador é a sua impedância interna
em série com
. Portanto a impedância total em série que limita a corrente é
Note a beleza desse cancelamento: a parte imaginária do gerador cancelou a parte imaginária de
, sobrando uma resistência pura.
Passo 7
A corrente eficaz (rms) que entra na linha é a corrente fornecida pelo gerador, dada por
Como
e
(real), temos magnitude e fase simples:
Como a impedância total é real positiva, a corrente está em fase com a tensão do gerador (ângulo
) — mas geralmente, quando pedem só a corrente eficaz, o importante é o valor rms.