Uma LT sem perdas tem
e
em
. A carga é uma combinação paralela de um resistor de
com um capacitor de
. Calcular: a) L (em
); b) C (em
); c) o coeficiente de reflexão na carga; d) o coeficiente de onda estacionária na linha.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo.
Dados (pegos do enunciado):
- Impedância característica da linha sem perdas:
. - Constante de fase em
: . - Frequência angular:
. - Carga: resistor em paralelo com capacitor, isto é,
em paralelo com (peguei esses valores do enunciado).
O que o problema pede:
a) Indicar a indutância por metro da linha: (em
).
b) Indicar a capacitância por metro da linha: (em
).
c) Calcular o coeficiente de reflexão na carga: (complexo).
d) Calcular o coeficiente de onda estacionária (VSWR): .
a) Indicar a indutância por metro da linha:
b) Indicar a capacitância por metro da linha:
c) Calcular o coeficiente de reflexão na carga:
d) Calcular o coeficiente de onda estacionária (VSWR):
Passo 2
Relações básicas para uma linha sem perdas (aqui explico passo a passo):
- Para linha sem perdas temos que a constante de propagação é puramente imaginária:
. A relação entre , , e é
Isto vem da fórmula geral
para linha ideal (onde as perdas
e
são nulas).
- A impedância característica para linha sem perdas é
Essas duas equações permitem resolver
e
a partir de
,
e
.
Agora vamos isolar
e
. Primeiro note que
Multiplicando essa igualdade por
obtemos
:
Para
podemos dividir
por
:
Essas fórmulas são simples e úteis:
Passo 3
Cálculo numérico de
e
mostrando as contas:
- Calcule
:
- Então
Converta para
:
. Logo
- Para
:
Em
isso é aproximadamente
Passo 4
Calcular a impedância da carga (paralelo R
C). Primeiro passo: calcular a admitância da combinação paralela:
- Admitância do resistor:
- Admitância do capacitor:
.
Calcule:
Logo
- Admitância total da carga:
- Impedância da carga é o inverso da admitância:
Agora faço a inversão em forma algébrica (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado):
Calcule denominador:
Agora os componentes reais e imaginários:
Portanto
Passo 5
Calcular o coeficiente de reflexão na carga
. Fórmula e interpretação:
- Definição:
Isto é um número complexo que mede a fração da onda refletida na interface com a carga. Vou calcular passo a passo com os números que já temos:
- Primeiro calcule
e :
- Agora divida os complexos. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador e simplificando (fiz as contas completas):
O resultado é aproximadamente
- Magnitude e fase: a magnitude é
A fase é aproximadamente
(ângulo negativo porque a parte imaginária é negativa e domina).
Passo 6
Calcular o coeficiente de onda estacionária (VSWR). Relação entre
e
:
Substituindo
:
Interpretação curta:
é sempre
. Quanto mais próximo de 1, melhor o casamento; aqui
indica reflexão significativa, compatível com
.
Resposta
a)
b)
c) (,
,)
d)
b)
c)
d)