Uma LT sem perdas tem \mathrm{Z}_{0}=60 \Omega e \beta=5 \mathrm{rad} / \mathrm{m} em \omega=10^{9} \mathrm{rad} / \mathrm{s}. A carga é uma combinação paralela de um resistor de 100 \Omega com um capacitor de 12,5 \mathrm{pF}. Calcular: a) L (em \mu \mathrm{H} / \mathrm{m} ); b) C (em \mathrm{pF} / \mathrm{m} ); c) o coeficiente de reflexão na carga; d) o coeficiente de onda estacionária na linha.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo.
Dados (pegos do enunciado):
  • Impedância característica da linha sem perdas: \,Z_{0}=60\\ \Omega\,.
  • Constante de fase em \omega=10^{9}\\ \mathrm{rad/s}: \,\beta=5\\ \mathrm{rad/m}\,.
  • Frequência angular: \,\omega=10^{9}\\ \mathrm{rad/s}\,.
  • Carga: resistor em paralelo com capacitor, isto é, R=100\\ \Omega em paralelo com C_{\text{carga}}=12{,}5\\ \mathrm{pF} (peguei esses valores do enunciado).
O que o problema pede:
a) Indicar a indutância por metro da linha: \,L (em \mu\mathrm{H}/\mathrm{m}).
b) Indicar a capacitância por metro da linha: \,C (em \mathrm{pF}/\mathrm{m}).
c) Calcular o coeficiente de reflexão na carga: \Gamma_{L} (complexo).
d) Calcular o coeficiente de onda estacionária (VSWR): S.

Passo 2

Relações básicas para uma linha sem perdas (aqui explico passo a passo):
  • Para linha sem perdas temos que a constante de propagação é puramente imaginária: \gamma = j\beta. A relação entre \beta, \omega, L e C é
\beta = \omega\sqrt{L\,C}.
Isto vem da fórmula geral \gamma = j\omega\sqrt{LC} para linha ideal (onde as perdas R e G são nulas).
  • A impedância característica para linha sem perdas é
Z_{0}=\sqrt{\frac{L}{C}}.
Essas duas equações permitem resolver L e C a partir de Z_{0}, \beta e \omega.
Agora vamos isolar L e C. Primeiro note que
\sqrt{L C}=\frac{\beta}{\omega}.
Multiplicando essa igualdade por Z_{0}=\sqrt{L/C} obtemos L:
L = Z_{0}\,\sqrt{L C}=Z_{0}\,\frac{\beta}{\omega}.
Para C podemos dividir \sqrt{LC} por Z_{0}:
C=\frac{1}{Z_{0}}\,\sqrt{L C}=\frac{1}{Z_{0}}\,\frac{\beta}{\omega}=\frac{\beta}{\omega\,Z_{0}}.
Essas fórmulas são simples e úteis: \;L=Z_{0}\dfrac{\beta}{\omega},\quad C=\dfrac{\beta}{\omega Z_{0}}.

Passo 3

Cálculo numérico de L e C mostrando as contas:
  • Calcule \dfrac{\beta}{\omega}:
\frac{\beta}{\omega}=\frac{5}{10^{9}}=5\cdot10^{-9}\\ \mathrm{s/m}.
  • Então
L = Z_{0}\,\frac{\beta}{\omega}=60\cdot 5\cdot10^{-9}=300\cdot10^{-9}\\ \mathrm{H/m}.
Converta para \mu\mathrm{H}/\mathrm{m}: 300\cdot10^{-9}\\ \mathrm{H}=0{,}3\cdot10^{-6}\\ \mathrm{H}=0{,}3\\ \mu\mathrm{H}. Logo
L = 0{,}3\\ \mu\mathrm{H}/\mathrm{m}.
  • Para C:
C=\frac{\beta}{\omega Z_{0}}=\frac{5}{10^{9}\cdot60}=\frac{5}{60}\cdot10^{-9}=\frac{1}{12}\cdot10^{-9}\\ \mathrm{F/m}.
\frac{1}{12}\cdot10^{-9}=8{,}333\ldots\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}=83{,}333\ldots\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Em \mathrm{pF/m} isso é aproximadamente
C \approx 83{,}33\\ \mathrm{pF}/\mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a impedância da carga (paralelo R \parallel C). Primeiro passo: calcular a admitância da combinação paralela:
  • Admitância do resistor: \,Y_{R}=\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{100}=0{,}01\\ \mathrm{S}.
  • Admitância do capacitor: \,Y_{C}=j\omega C_{\text{carga}}=j\,(10^{9})\,(12{,}5\times10^{-12}).
    Calcule:
\omega C_{\text{carga}}=10^{9}\cdot12{,}5\times10^{-12}=12{,}5\times10^{-3}=0{,}0125\\ \mathrm{S}.
Logo
Y_{C}=j\,0{,}0125\\ \mathrm{S}.
  • Admitância total da carga:
Y_{L}=Y_{R}+Y_{C}=0{,}01 + j\,0{,}0125\\ \mathrm{S}.
  • Impedância da carga é o inverso da admitância:
Z_{L}=\frac{1}{Y_{L}}=\frac{1}{0{,}01 + j\,0{,}0125}.
Agora faço a inversão em forma algébrica (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado):
Z_{L}=\frac{0{,}01 - j\,0{,}0125}{0{,}01^{2}+0{,}0125^{2}}.
Calcule denominador:
0{,}01^{2}+0{,}0125^{2}=0{,}0001+0{,}00015625=0{,}00025625.
Agora os componentes reais e imaginários:
\Re(Z_{L})=\frac{0{,}01}{0{,}00025625}\approx 39{,}02439\\ \Omega,
\Im(Z_{L})=\frac{-0{,}0125}{0{,}00025625}\approx -48{,}78049\\ \Omega.
Portanto
Z_{L}\approx 39{,}0244 - j\,48{,}7805\\ \Omega.

Passo 5

Calcular o coeficiente de reflexão na carga \Gamma_{L}. Fórmula e interpretação:
  • Definição:
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
Isto é um número complexo que mede a fração da onda refletida na interface com a carga. Vou calcular passo a passo com os números que já temos:
  • Primeiro calcule Z_{L}-Z_{0} e Z_{L}+Z_{0}:
Z_{L}-Z_{0}=(39{,}0244-60) - j\,48{,}7805 = -20{,}9756 - j\,48{,}7805.
Z_{L}+Z_{0}=(39{,}0244+60) - j\,48{,}7805 = 99{,}0244 - j\,48{,}7805.
  • Agora divida os complexos. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador e simplificando (fiz as contas completas):
    O resultado é aproximadamente
\Gamma_{L}\approx 0{,}02486 - j\,0{,}4803.
  • Magnitude e fase: a magnitude é
|\Gamma_{L}|=\sqrt{0{,}02486^{2}+0{,}4803^{2}}\approx 0{,}4809.
A fase é aproximadamente -87^\circ (ângulo negativo porque a parte imaginária é negativa e domina).

Passo 6

Calcular o coeficiente de onda estacionária (VSWR). Relação entre |\Gamma| e S:
S=\frac{1+|\Gamma_{L}|}{1-|\Gamma_{L}|}.
Substituindo |\Gamma_{L}|\approx 0{,}4809:
S=\frac{1+0{,}4809}{1-0{,}4809}=\frac{1{,}4809}{0{,}5191}\approx 2{,}85.
Interpretação curta: S é sempre \ge 1. Quanto mais próximo de 1, melhor o casamento; aqui S\approx 2{,}85 indica reflexão significativa, compatível com |\Gamma|\approx0{,}48.

Resposta

a) L = 0{,}3\\ \mu\mathrm{H}/\mathrm{m}
b) C = 83{,}33\\ \mathrm{pF}/\mathrm{m}
c) \Gamma_{L}\approx 0{,}02486 - j\,0{,}4803 (, |\Gamma_{L}|\approx0{,}4809,)
d) S\approx 2{,}85

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