Uma LTSP com impedância característica Z0=50 \Omega é terminada por uma carga ZL. O coeficiente de onda estacionária S é igual a 9 . A distância entre mínimos sucessivos de tensão é 0,2 \mathrm{~m} e a distância da carga ao 1^{\circ} mínimo de tensão é 0,08 \mathrm{~m}. Determine ZL.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede, bem organizado para não nos perdermos:
  • Impedância característica da linha: Z_0 = 50\\ \Omega.
  • Coeficiente de onda estacionária (VSWR): S = 9.
  • Distância entre mínimos sucessivos de tensão: 0,2\\ \mathrm{m}.
  • Distância da carga ao primeiro mínimo de tensão: 0,08\\ \mathrm{m}.
  • O que pedia: determinar a impedância de carga Z_L.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A distância entre mínimos sucessivos é igual a \lambda/2. Vou usar isso para achar \lambda.
  • A posição do primeiro mínimo em relação à carga nos dá a fase do coeficiente de reflexão \Gamma.
  • Com \Gamma (módulo e fase) podemos obter Z_L pela relação \Gamma = \dfrac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}.

Passo 2

Calcular o comprimento de onda \lambda usando a distância entre mínimos sucessivos.
Explicação do conceito usado: em uma linha sem perdas, os máximos e mínimos sucessivos de tensão ficam separados por meia-onda, isto é, a distância entre mínimos sucessivos é \lambda/2. Portanto,
\frac{\lambda}{2} = 0,2\\ \mathrm{m}.
Logo
\lambda = 2 \times 0,2 = 0,4\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular o módulo do coeficiente de reflexão |\Gamma| a partir do VSWR S.
Fórmula usada e seu significado: o VSWR S está relacionado a |\Gamma| por
S = \frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|},
onde |\Gamma| é o módulo do coeficiente de reflexão (número entre 0 e 1). Isolando |\Gamma| temos
|\Gamma| = \frac{S-1}{S+1}.
Substituindo S=9:
|\Gamma| = \frac{9-1}{9+1} = \frac{8}{10} = 0,8.

Passo 4

Determinar a fase de \Gamma usando a distância do primeiro mínimo à carga.
Conceito e derivação curta: a condição para um mínimo de tensão em uma linha (medido a partir da carga, coordenada x positiva para longe da carga) é
\theta + 2\beta x = (2n+1)\pi,
onde \Gamma = |\Gamma|e^{j\theta}, \beta é a constante de fase \beta = \dfrac{2\pi}{\lambda} e n é um inteiro. Tomando o primeiro mínimo (escolhendo n=0) obtemos a relação mais simples
\theta + 2\beta d = \pi,
onde d é a distância do primeiro mínimo à carga. Isolando \theta:
\theta = \pi - 2\beta d.
Agora calculamos \beta e \theta. Como \lambda = 0,4\\ \mathrm{m},
\beta = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0,4} = 5\pi\\ \mathrm{rad/m}.
Com d=0,08\\ \mathrm{m}:
\theta = \pi - 2(5\pi)(0,08) = \pi - 2\pi(0,4) = \pi - 0,8\pi = 0,2\pi\\ \text{rad}.
Em graus isso é 0,2\pi\\ \text{rad} = 36^\circ. Portanto \Gamma tem fase \theta = 0{,}2\pi.

Passo 5

Montar \Gamma como número complexo e separar partes real e imaginária.
Sabemos |\Gamma|=0{,}8 e \theta=0{,}2\pi. Então
\Gamma = 0{,}8\,e^{j0{,}2\pi} = 0{,}8\big(\cos(0{,}2\pi) + j\sin(0{,}2\pi)\big).
Usando \cos(36^\circ)=0{,}809016 e \sin(36^\circ)=0{,}587785 temos
\Gamma \approx 0{,}8(0{,}809016 + j\,0{,}587785) \approx 0{,}647213 + j\,0{,}470228.
Para facilitar contas posteriores, denote a=\Re(\Gamma)=0{,}647213 e b=\Im(\Gamma)=0{,}470228.

Passo 6

Usar a relação entre Z_L e \Gamma e rearranjar para obter Z_L.
Fórmula básica:
\Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}.
Isolando Z_L
Z_L = Z_0\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}.
Para efetuar a divisão complexa, é conveniente usar a simplificação algébrica. Escrevendo \Gamma = a + jb temos
\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} = \frac{(1+a)+jb}{(1-a)-jb}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador e simplificando obtemos (passo algébrico importante):
\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}=\frac{1-(a^2+b^2)+j\,2b}{(1-a)^2+b^2}.
Observação útil: a^2+b^2=|\Gamma|^2.

Passo 7

Calcular numericamente a fração complexa e obter Z_L.
Usando a^2+b^2 = |\Gamma|^2 = 0{,}8^2 = 0{,}64 e b=0{,}470228 e a=0{,}647213 temos:
  • Numerador real: 1-(a^2+b^2)=1-0{,}64=0{,}36.
  • Numerador imaginário: 2b \approx 0{,}940456.
  • Denominador: (1-a)^2 + b^2 = 1 - 2a + (a^2+b^2) = 1 - 2a + 0{,}64.
    Com a=0{,}647213 obtemos
\text{denom} \approx 1{,}64 - 2(0{,}647213) = 1{,}64 - 1{,}294426 = 0{,}345574.
Então
\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma} \approx \frac{0{,}36 + j\,0{,}940456}{0{,}345574} \approx 1{,}04164 + j\,2{,}72164.
Multiplicando por Z_0=50\\ \Omega:
Z_L = 50\,(1{,}04164 + j\,2{,}72164) \approx 52{,}082 + j\,136{,}082\\ \Omega.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo:
  • Encontramos uma carga com pequena resistência real (próxima de 52\\ \Omega) e reatância indutiva significativa ( +j136\\ \Omega). Você fez certo seguindo passo-a-passo: primeiro \lambda, depois |\Gamma| pelo VSWR, depois a fase de \Gamma pelo posicionamento do mínimo, e por fim a transformação para Z_L.
  • Se quiser, dá para checar rápido que \Gamma=(Z_L-Z_0)/(Z_L+Z_0) com este resultado retorna o módulo \approx 0{,}8 e fase \approx 36^\circ, confirmando consistência.

Resposta

Z_L \approx 52{,}08 + j\,136{,}08\\ \Omega

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