Seja uma LTSP, operando em altas frequências, com impedância característica \mathrm{Z} 0=70 \Omega e terminada em circuito aberto. Determine, usando equações exatas, a impedância de entrada para os seguintes comprimentos da linha: \lambda / 8 ; \lambda / 4 ; 3 \lambda / 8 ; \lambda / 2 e 5 \lambda / 8. Repita o problema usando a Carta de Smith. Compare os resultados.

Passo 1

O enunciado dá uma linha de transmissão (LTSP) lossless com impedância característica \mathrm{Z}_0=70\\ \Omega, terminada em circuito aberto. Pede para determinar, por equações exatas, a impedância de entrada para os comprimentos:
\lambda/8, \lambda/4, 3\lambda/8, \lambda/2 e 5\lambda/8. Depois repetir o procedimento usando a Carta de Smith e comparar os resultados.
Informações relevantes dadas:
\mathrm{Z}_0 = 70\\ \Omega, \qquad Z_L = \infty\\ (\text{circuito aberto}).
As perguntas que precisamos responder são: calcular \;Z_{in}\; para cada comprimento pedido (usando equações exatas) e repetir por meio da Carta de Smith, então comparar.

Passo 2

Fórmula geral (exata) para a impedância de entrada de uma linha lossless:
Z_{in}(l)=Z_0\frac{Z_L + jZ_0\tan(\beta l)}{Z_0 + jZ_L\tan(\beta l)}.
Explicando cada símbolo:
  • \;Z_{in}(l)\; é a impedância vista na entrada da linha com comprimento l.
  • \;Z_0\; é a impedância característica da linha.
  • \;Z_L\; é a impedância do terminação (aqui aberta, \infty).
  • \beta é a constante de propagação para linha lossless: \;\beta = \dfrac{2\pi}{\lambda}\;.
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1).
Agora simplificamos para o caso Z_L\to\infty (aberto). Uma forma prática de ver isso é passar para admitância ou usar o limite; o resultado conhecido e fácil de usar é:
Z_{in}(l) = -\,j\,Z_0\cot(\beta l).
Vou usar essa fórmula para calcular passo a passo. Interpretação física rápida: se Z_{in} for -jX (parte imaginária negativa) o comportamento é capacitivo; se for +jX é indutivo; 0 é curto; e \infty é aberto.

Passo 3

Cálculo para l=\lambda/8.
Calcule \beta l:
\beta l = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{8}=\frac{\pi}{4}.
Use \cot(\pi/4)=1. Então:
Z_{in}\!\left(\frac{\lambda}{8}\right) = -j\,Z_0\cot\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -j\cdot 70\cdot 1 = -j70\\ \Omega.
Interpretação: impedância puramente reativa capacitiva de magnitude 70\\ \Omega.

Passo 4

Cálculo para l=\lambda/4.
Calcule \beta l:
\beta l = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{4}=\frac{\pi}{2}.
Use \cot(\pi/2)=0. Então:
Z_{in}\!\left(\frac{\lambda}{4}\right) = -j\,70\cdot 0 = 0\\ \Omega.
Interpretação: a linha transforma a abertura em curto quando tem comprimento \lambda/4.

Passo 5

Cálculo para l=3\lambda/8.
Calcule \beta l:
\beta l = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{3\lambda}{8}=\frac{3\pi}{4}.
Use \cot(3\pi/4)=-1. Então:
Z_{in}\!\left(\frac{3\lambda}{8}\right) = -j\,70\cdot(-1)=+j70\\ \Omega.
Interpretação: impedância puramente reativa indutiva de magnitude 70\\ \Omega.

Passo 6

Cálculo para l=\lambda/2.
Calcule \beta l:
\beta l = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{2}=\pi.
\cot(\pi) é singular (tende a infinito), portanto
Z_{in}\!\left(\frac{\lambda}{2}\right)\to\infty,
ou seja, a linha de comprimento \lambda/2 transforma a abertura em outra abertura (impedância de entrada aberta).

Passo 7

Cálculo para l=5\lambda/8.
Calcule \beta l:
\beta l = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{5\lambda}{8}=\frac{5\pi}{4}.
Use periodicidade \cot(\theta+\pi)=\cot\theta, então \cot(5\pi/4)=\cot(\pi/4)=1. Assim:
Z_{in}\!\left(\frac{5\lambda}{8}\right) = -j\,70\cdot 1 = -j70\\ \Omega.
Observação: igual ao caso \lambda/8 por periodicidade de \pi na função cot.

Passo 8

Repetindo usando a Carta de Smith (método via coeficiente de reflexão). Vou explicar a ideia e usar cálculos equivalentes aos que a carta faria. Fórmulas úteis:
\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}, \qquad \Gamma_{in}(l)=\Gamma_L e^{-j2\beta l}, \qquad Z_{in} = Z_0\frac{1+\Gamma_{in}}{1-\Gamma_{in}}.
Para Z_L=\infty (aberto) tem-se \Gamma_L=+1 (magnitude 1, ângulo 0^\circ). Na Carta de Smith isso é o ponto extremo direito ( \Gamma=+1). Mover-se da carga em direção à fonte por um comprimento l corresponde a rodar no círculo de reflexão do ponto \Gamma_L por um ângulo -2\beta l (sentido horário no gráfico). Vou calcular \Gamma_{in} e então Z_{in} para cada l; os resultados devem coincidir com as equações exatas.

Passo 9

Caso l=\lambda/8.
-2\beta l = -2\cdot\frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{8} = -\frac{\pi}{2}.
\Gamma_{in} = e^{-j\pi/2} = -j.
Agora:
\frac{1+\Gamma_{in}}{1-\Gamma_{in}} = \frac{1-j}{1+j}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado (1-j):
\frac{(1-j)^2}{(1+j)(1-j)}=\frac{1-2j-1}{1+1}=\frac{-2j}{2}=-j.
Então:
Z_{in}=Z_0(-j)=-j70\\ \Omega,
que bate com o resultado do Passo 3.

Passo 10

Caso l=\lambda/4.
-2\beta l = -2\cdot\frac{\pi}{2}=-\pi, \qquad \Gamma_{in} = e^{-j\pi}=-1.
Z_{in}=70\frac{1-1}{1+1}=0\\ \Omega,
que coincide com o Passo 4 (curto).

Passo 11

Caso l=3\lambda/8.
-2\beta l = -2\cdot\frac{3\pi}{4}=-\frac{3\pi}{2}, \qquad \Gamma_{in} = e^{-j3\pi/2}=j.
\frac{1+\Gamma_{in}}{1-\Gamma_{in}}=\frac{1+j}{1-j}=\;j,
(veja cálculo semelhante ao do Passo 9), então
Z_{in}=70\cdot j = j70\\ \Omega,
coincidindo com o Passo 5.

Passo 12

Caso l=\lambda/2.
-2\beta l = -2\pi, \qquad \Gamma_{in}=e^{-j2\pi}=1.
Z_{in}=70\frac{1+1}{1-1}\to\infty,
ou seja, aberto, como no Passo 6.

Passo 13

Caso l=5\lambda/8.
-2\beta l = -2\cdot\frac{5\pi}{4}=-\frac{5\pi}{2}, \qquad \Gamma_{in}=e^{-j5\pi/2}=e^{-j(\,2\pi+\pi/2\,)}=e^{-j\pi/2}=-j.
Isso dá exatamente o mesmo cálculo do Passo 9 e
Z_{in}=-j70\\ \Omega,
como em Passo 7.

Passo 14

Comparação e conclusão rápida (dicas para a prova):
  • Os dois métodos (fórmula exata com -jZ_0\cot(\beta l) e o método pela Carta de Smith / coeficiente de reflexão) deram resultados idênticos para todos os comprimentos: \lambda/8,\lambda/4,3\lambda/8,\lambda/2,5\lambda/8.
  • Dica prática: para terminação aberta lembre-se que \Gamma_L=+1 (ponto mais à direita na Carta de Smith) e que deslocamentos na linha correspondem a rotações de -2\beta l no plano de \Gamma. Usar a fórmula \;Z_{in}=-jZ_0\cot(\beta l)\; é normalmente a forma mais rápida para cálculos algébricos em prova.
  • Incentivo: você já viu a técnica exata e a interpretação pelo coeficiente de reflexão — na prova, calcule com a fórmula quando for só valores de ângulo simples (como \pi/4,\pi/2,\dots). Se precisar visualizar combinações complexas, use a Carta de Smith para rotacionar e converter para impedância.

Resposta

\lambda/8:\;Z_{in}=-j70\\ \Omega
\lambda/4:\;Z_{in}=0\\ \Omega
3\lambda/8:\;Z_{in}=+j70\\ \Omega
\lambda/2:\;Z_{in}=\infty\\ (\text{aberto})
5\lambda/8:\;Z_{in}=-j70\\ \Omega

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