Seja uma LTSP, operando em altas frequências, com impedância característica
e terminada em circuito aberto. Determine, usando equações exatas, a impedância de entrada para os seguintes comprimentos da linha:
e
. Repita o problema usando a Carta de Smith. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado dá uma linha de transmissão (LTSP) lossless com impedância característica
, terminada em circuito aberto. Pede para determinar, por equações exatas, a impedância de entrada para os comprimentos:
,
,
,
e
. Depois repetir o procedimento usando a Carta de Smith e comparar os resultados.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
As perguntas que precisamos responder são: calcular
para cada comprimento pedido (usando equações exatas) e repetir por meio da Carta de Smith, então comparar.
Passo 2
Fórmula geral (exata) para a impedância de entrada de uma linha lossless:
Explicando cada símbolo:
-
é a impedância vista na entrada da linha com comprimento . -
é a impedância característica da linha. -
é a impedância do terminação (aqui aberta, ). -
é a constante de propagação para linha lossless: . -
é a unidade imaginária ( ).
Agora simplificamos para o caso
(aberto). Uma forma prática de ver isso é passar para admitância ou usar o limite; o resultado conhecido e fácil de usar é:
Vou usar essa fórmula para calcular passo a passo. Interpretação física rápida: se
for
(parte imaginária negativa) o comportamento é capacitivo; se for
é indutivo;
é curto; e
é aberto.
Passo 3
Cálculo para
.
Calcule
:
Use
. Então:
Interpretação: impedância puramente reativa capacitiva de magnitude
.
Passo 4
Cálculo para
.
Calcule
:
Use
. Então:
Interpretação: a linha transforma a abertura em curto quando tem comprimento
.
Passo 5
Cálculo para
.
Calcule
:
Use
. Então:
Interpretação: impedância puramente reativa indutiva de magnitude
.
Passo 6
Cálculo para
.
Calcule
:
ou seja, a linha de comprimento
transforma a abertura em outra abertura (impedância de entrada aberta).
Passo 7
Cálculo para
.
Calcule
:
Use periodicidade
, então
. Assim:
Observação: igual ao caso
por periodicidade de
na função cot.
Passo 8
Repetindo usando a Carta de Smith (método via coeficiente de reflexão). Vou explicar a ideia e usar cálculos equivalentes aos que a carta faria. Fórmulas úteis:
Para
(aberto) tem-se
(magnitude 1, ângulo
). Na Carta de Smith isso é o ponto extremo direito (
). Mover-se da carga em direção à fonte por um comprimento
corresponde a rodar no círculo de reflexão do ponto
por um ângulo
(sentido horário no gráfico). Vou calcular
e então
para cada
; os resultados devem coincidir com as equações exatas.
Passo 9
Caso
.
Agora:
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
:
Então:
que bate com o resultado do Passo 3.
Passo 10
Caso
.
que coincide com o Passo 4 (curto).
Passo 11
Caso
.
(veja cálculo semelhante ao do Passo 9), então
coincidindo com o Passo 5.
Passo 12
Caso
.
ou seja, aberto, como no Passo 6.
Passo 13
Caso
.
Isso dá exatamente o mesmo cálculo do Passo 9 e
como em Passo 7.
Passo 14
Comparação e conclusão rápida (dicas para a prova):
- Os dois métodos (fórmula exata com
e o método pela Carta de Smith / coeficiente de reflexão) deram resultados idênticos para todos os comprimentos: . - Dica prática: para terminação aberta lembre-se que
(ponto mais à direita na Carta de Smith) e que deslocamentos na linha correspondem a rotações de no plano de . Usar a fórmula é normalmente a forma mais rápida para cálculos algébricos em prova. - Incentivo: você já viu a técnica exata e a interpretação pelo coeficiente de reflexão — na prova, calcule com a fórmula quando for só valores de ângulo simples (como
). Se precisar visualizar combinações complexas, use a Carta de Smith para rotacionar e converter para impedância.