A Lua tem massa de 73,5\left(10^{21}\right) \mathrm{kg} e a Terra, de 5,98\left(10^{24}\right) \mathrm{kg}. Se seus centros distam 384\left(10^{6}\right) \mathrm{m}, determine a intensidade da força gravitacional com que esses dois corpos se atraem.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa da Lua: m_L = 73{,}5\left(10^{21}\right)\\ \mathrm{kg}. Ou seja, m_L = 73{,}5\times10^{21}\\ \mathrm{kg}.
    • Massa da Terra: m_T = 5{,}98\left(10^{24}\right)\\ \mathrm{kg}. Ou seja, m_T = 5{,}98\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
    • Distância entre os centros: r = 384\left(10^{6}\right)\\ \mathrm{m}. Ou seja, r = 384\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a intensidade da força gravitacional com que a Terra e a Lua se atraem (ou seja, calcular o módulo da força gravitacional).

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada símbolo.
  • A lei da gravitação universal de Newton dá a intensidade da força entre duas massas pontuais (ou massas concentradas nos seus centros) por:
F = G\,\frac{m_T\,m_L}{r^{2}}.
  • Explicando cada símbolo:
    • F é a intensidade da força gravitacional (em newtons, \mathrm{N}).
    • G é a constante gravitacional universal, cujo valor experimentalmente aceito é G = 6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}}.
    • m_T é a massa da Terra (em kg).
    • m_L é a massa da Lua (em kg).
    • r é a distância entre os centros (em m).
  • Unidade e consistência: como G tem unidades \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}}, ao multiplicar por m_T m_L (kg^2) e dividir por r^2 (m^2) o resultado fica em newtons, conforme esperado.

Passo 3

Colocar os valores numéricos em notação científica consistente e prontos para cálculo.
  • Escrever os dados como potências de dez:
    • m_L = 73{,}5\times10^{21}\\ \mathrm{kg}.
    • m_T = 5{,}98\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
    • r = 384\times10^{6}\\ \mathrm{m} = 3{,}84\times10^{8}\\ \mathrm{m}. (Aqui dividi 384 por 10^{2} e somei os expoentes para obter um mantissa entre 1 e 10.)

Passo 4

Calcular o produto m_T\,m_L com atenção aos coeficientes e aos expoentes.
  • Multiplicando os mantissas: 5{,}98 \times 73{,}5 = 439{,}53.(Detalhe da conta: 5{,}98\times70=418{,}6, 5{,}98\times3=17{,}94, 5{,}98\times0{,}5=2{,}99; somando: 418{,}6+17{,}94+2{,}99=439{,}53.)
  • Somando os expoentes: 10^{24}\times10^{21}=10^{45}.
  • Portanto m_T\,m_L = 439{,}53\times10^{45}\\ \mathrm{kg^{2}}.
  • Normalizando para notação científica com mantissa entre 1 e 10: 439{,}53\times10^{45} = 4{,}3953\times10^{47}\\ \mathrm{kg^{2}}.

Passo 5

Calcular o numerador G\,m_T\,m_L.
  • Usando G = 6{,}67\times10^{-11}, G\,m_T\,m_L = (6{,}67\times10^{-11})\,(4{,}3953\times10^{47}).
  • Multiplicando as mantissas: 6{,}67\times4{,}3953 \approx 29{,}31665.
  • Somando os expoentes: 10^{-11}\times10^{47}=10^{36}.
  • Então G\,m_T\,m_L \approx 29{,}31665\times10^{36}.
  • Normalizando: G\,m_T\,m_L \approx 2{,}931665\times10^{37}\\ \mathrm{N\,m^{2}}.

Passo 6

Calcular o denominador r^{2}.
  • Lembrando r = 3{,}84\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
  • Ao elevar ao quadrado: r^{2} = (3{,}84\times10^{8})^{2} = 3{,}84^{2}\times10^{16}.
  • Calculando 3{,}84^{2}: 3{,}84^{2} = 14{,}7456.
  • Portanto r^{2} = 14{,}7456\times10^{16} = 1{,}47456\times10^{17}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 7

Dividir numerador por denominador para obter F.
  • Temos F = \frac{2{,}931665\times10^{37}}{1{,}47456\times10^{17}}.
  • Dividindo as mantissas e subtraindo expoentes: \frac{2{,}931665}{1{,}47456}\approx 1{,}988, \qquad 10^{37}/10^{17}=10^{20}.
  • Logo F \approx 1{,}988\times10^{20}\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Arredondamento final e interpretação.
  • Arredondando para três algarismos significativos (prático e compatível com os dados dados), podemos escrever: F \approx 1{,}99\times10^{20}\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação rápida: esse é o valor da intensidade da força gravitacional mútua entre Terra e Lua — uma força enorme, da ordem de 10^{20} newtons, responsável pela órbita da Lua e por efeitos como as marés.

Resposta

1{,}99\times10^{20}\\ \mathrm{N}

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