A força de corte e de penetração em uma operação de corte ortogonal são 1470 N e 1589 N , respectivamente. O ângulo de saída =5^{\circ}, a largura de corte =5,0 \mathrm{~mm}, a espessura do cavaco indeformado =0,6 \mathrm{~mm} e a razão de espessura do cavaco =0,38. Determine:
(a) Tensão de escoamento do material trabalhado
(b) Coeficiente de atrito na operação

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (todos os números listados abaixo foram retirados do enunciado):
  • Força de corte: F_c = 1470\\ \mathrm{N}.
  • Força de penetração (ou de avanço): F_t = 1589\\ \mathrm{N}.
  • Ângulo de saída (ângulo de trabalho / rake angle): \alpha = 5^\circ.
  • Largura de corte: w = 5{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura do cavaco indeformado: t_1 = 0{,}6\\ \mathrm{mm}.
  • Razão de espessura do cavaco: r = 0{,}38 (definida aqui como \,r = \dfrac{t_1}{t_2}\,, portanto t_2 será maior que t_1).
O enunciado pede:
(a) determinar a tensão de escoamento do material trabalhado (interpreto aqui como a tensão de fluxo atuante no plano de cisalhamento, calculada a partir da tensão de cisalhamento média \tau no plano de cisalhamento);
(b) determinar o coeficiente de atrito na operação (coeficiente de atrito \mu entre cavaco e face da ferramenta).

Passo 2

Encontrar o ângulo do plano de cisalhamento \varphi a partir da razão de espessuras r.
Teoria e fórmula usada:
  • Geometria de Merchant para corte ortogonal dá a relação entre a razão de espessuras r, o ângulo de cisalhamento \varphi e o ângulo de saída \alpha:
r=\frac{\cos\varphi}{\sin(\varphi-\alpha)}.
  • Essa relação pode ser rearranjada para obter \tan\varphi. Fazendo a álgebra:
r\sin(\varphi-\alpha)=\cos\varphi
r(\sin\varphi\cos\alpha-\cos\varphi\sin\alpha)=\cos\varphi
r\sin\varphi\cos\alpha=\cos\varphi(1+r\sin\alpha)
\tan\varphi=\frac{1+r\sin\alpha}{r\cos\alpha}.
Nesta fórmula:
  • \varphi é o ângulo do plano de cisalhamento medido a partir da direção de corte (o que queremos achar),
  • \alpha é o ângulo de saída (rake angle),
  • r é t_1/t_2.
Cálculo numérico:
\sin\alpha=\sin5^\circ\approx0{,}0871557427, \qquad \cos\alpha=\cos5^\circ\approx0{,}9961946981.
1+r\sin\alpha = 1 + 0{,}38\cdot 0{,}0871557427 \approx 1{,}03311918,
r\cos\alpha = 0{,}38\cdot 0{,}9961946981 \approx 0{,}37855399.
\tan\varphi = \frac{1{,}03311918}{0{,}37855399} \approx 2{,}72957.
Portanto
\varphi \approx \arctan(2{,}72957)\approx 69{,}89^\circ.

Passo 3

Calcular a espessura do cavaco formado t_2 (usando r=t_1/t_2) e verificar grandezas geométricas usadas depois.
t_2=\frac{t_1}{r}=\frac{0{,}6}{0{,}38}\\ \mathrm{mm}\approx 1{,}57894737\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular a área de cisalhamento A_s do plano de cisalhamento.
Teoria:
  • A área do plano de cisalhamento vale A_s = w\cdot s, onde s é o comprimento do plano de cisalhamento.
  • A partir da geometria do cavaco, o comprimento do plano de cisalhamento pode ser obtido pela projeção de t_2 ao longo da direção do plano: uma relação prática usada em corte ortogonal é
s=\frac{t_2}{\sin\varphi}.
(Explicação intuitiva: t_2 é a espessura do cavaco medida perpendicular à direção de corte; projetando o comprimento do plano de cisalhamento na direção perpendicular obtemos essa relação geométrica.)
Cálculo:
\sin\varphi=\sin(69{,}89^\circ)\approx 0{,}9391.
s=\frac{t_2}{\sin\varphi}=\frac{1{,}57894737}{0{,}9391}\\ \mathrm{mm}\approx 1{,}6816\\ \mathrm{mm}.
A_s = w\cdot s = 5{,}0\\ \mathrm{mm}\times 1{,}6816\\ \mathrm{mm}\approx 8{,}408\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 5

Determinar a força de cisalhamento F_s no plano de cisalhamento a partir das forças medidas F_c e F_t.
Teoria e fórmula usada:
  • Resolvendo o equilíbrio de forças do cavaco (forças medidas na ferramenta) e projetando convenientemente, obtém-se a expressão (fórmula padrão na análise de Merchant):
F_s=\frac{F_c\cos\alpha + F_t\sin\alpha}{\cos(\varphi-\alpha)}.
Aqui:
  • F_s é a força ao longo do plano de cisalhamento (cisalhamento real que atua no plano),
  • F_c e F_t são as forças medidas (cutting e thrust),
  • \alpha e \varphi como definidos antes.
Cálculo numérico:
F_c\cos\alpha = 1470\cdot 0{,}9961946981 \approx 1464{,}377\\ \mathrm{N},
F_t\sin\alpha = 1589\cdot 0{,}0871557427 \approx 138{,}441\\ \mathrm{N}.
\text{Numerador} = 1464{,}377 + 138{,}441 = 1602{,}818\\ \mathrm{N}.
\varphi-\alpha = 69{,}89^\circ - 5^\circ = 64{,}89^\circ,\qquad \cos(64{,}89^\circ)\approx 0{,}4248.
F_s=\frac{1602{,}818}{0{,}4248}\\ \mathrm{N}\approx 3\,773{,}9\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular a tensão de cisalhamento média \tau no plano de cisalhamento e interpretar como tensão de escoamento do material trabalhado.
Teoria:
  • A tensão de cisalhamento média no plano é \tau=\dfrac{F_s}{A_s}.
  • Em muitos exercícios de usinagem, essa tensão de cisalhamento média é tomada como a tensão de escoamento (ou “tensão de fluxo”) do material no plano de cisalhamento, porque o material está cedendo por cisalhamento durante a formação do cavaco.
Cálculo:
\tau=\frac{F_s}{A_s}=\frac{3\,773{,}9\\ \mathrm{N}}{8{,}408\\ \mathrm{mm}^2}\approx 448{,}9\\ \mathrm{N/mm}^2.
Como 1\\ \mathrm{N/mm}^2=1\\ \mathrm{MPa}, temos
\tau\approx 449\\ \mathrm{MPa}.
Comentário didático curto: esta é a tensão média de cisalhamento atuante no plano de cisalhamento. Se o enunciado pede “tensão de escoamento” no sentido convencional (tensão de escoamento em tração), em problemas de usinagem costuma-se reportar a tensão de fluxo no plano de cisalhamento (valor acima). Se for necessário converter para resistência à tração convencional, isto exigiria uma relação material-específica (por exemplo, usar teoria de von Mises ou Tresca), mas o enunciado não pediu essa conversão, então reporta-se a tensão de cisalhamento média obtida.

Passo 7

Determinar o coeficiente de atrito \mu na face da ferramenta usando a relação de Merchant (através do ângulo de atrito \beta).
Teoria e fórmula usada:
  • A relação de Merchant entre \varphi,\\ \alpha e o ângulo de atrito \beta (onde \beta=\arctan\mu) é
\varphi = 45^\circ - \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}.
  • Isolando \beta:
\beta = 2\varphi - 90^\circ + \alpha.
  • Então o coeficiente de atrito é \mu=\tan\beta.
Cálculo:
\beta = 2\cdot 69{,}89^\circ - 90^\circ + 5^\circ \approx 54{,}78^\circ.
\mu=\tan(54{,}78^\circ)\approx 1{,}39.
Comentário curto: \mu>1 é possível em usinagem quando há grande aderência/adesão do cavaco à face da ferramenta (regime de “sticking” + compressão), e valores da ordem de 1–2 não são incomuns em certos casos.

Resposta

(a) \tau \approx 449\\ \mathrm{MPa}
(b) \mu \approx 1{,}39

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