Um tarugo cilíndrico de aço terá seu diâmetro reduzido de 200 mm para 192 mm , por meio do processo de usinagem por torneamento externo, num comprimento total de 400 mm . Para esta operação será usado um torno CNC com potência de 14.710 \mathrm{~W}(20 \mathrm{cv}) e eficiência de 90%. Um suporte do tipo PTGNR/L2020-K16 com uma pastilha TNMG160408R-ZC será usado na operação, a ferramenta possui ângulo de saída de 6^{\circ}, ângulo de posição de 90^{\circ} e raio de ponta de 0,8 \mathrm{~mm}. A velocidade de corte ideal tabelada para esta operação é de 200 \mathrm{~m} / \mathrm{min}.
(a) Sabendo que a potência de corte pode ser expressa em função da força de corte e da velocidade de corte (P=F \cdot V), determine o valor da profundidade de corte máxima que pode ser obtida a partir dos parâmetros de usinagem fornecidos. Considere a fórmula da força de corte proposta por Kienzle com Kc =2010 MPa e z=0,14.
(b) Considerando a profundidade de corte máxima que pode ser aplicada, determine quantos passes serão necessários para completar essa operação de torneamento.
(c) Calcule o tempo de vida de um gume dessa ferramenta de corte para essa operação de torneamento. Utilize a equação deduzida por Taylor para a obtenção do tempo de vida da ferramenta com \mathrm{C}=226 \mathrm{~m} / \mathrm{min} e \mathrm{n}=0,2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Diâmetro inicial do tarugo: 200\\ \text{mm}.
  • Diâmetro final desejado: 192\\ \text{mm}.
  • Comprimento usinado: 400\\ \text{mm} (não será necessário para os cálculos de potência e esforço, mas é útil para tempo de usinagem caso fosse pedido).
  • Potência do torno: 14{,}710\\ \text{W} ( =20\\ \text{cv} ).
  • Eficiência do sistema: 90\%.
  • Ferramenta: suporte PTGNR/L2020-K16 com pastilha TNMG160408R-ZC (raio de ponta 0{,}8\\ \text{mm}, ângulo de saída 6^\circ, ângulo de posição 90^\circ).
  • Velocidade de corte tabelada: 200\\ \text{m/min}.
  • Lei de Kienzle: constante K_c = 2010\\ \text{MPa} e expoente z = 0{,}14.
  • Equação de Taylor (fornecida): constante C = 226\\ \text{m/min} e expoente n = 0{,}2.
O enunciado pede:
(a) Determinar a profundidade de corte máxima a_{\max} permitida a partir da potência disponível, usando P=F\cdot V e a fórmula de Kienzle (com K_c e z fornecidos).
(b) Com essa profundidade de corte máxima, quantos passes serão necessários para reduzir o diâmetro de 200 para 192\\ \text{mm}.
(c) Calcular o tempo de vida de um gume da ferramenta usando a equação de Taylor dada.
Observação importante (informal e necessária): o enunciado não fornece o avanço (feed) f em \text{mm/rev}. Para usar a fórmula de Kienzle precisamos de um valor de avanço. Vou optar por uma escolha realista e justificar: para uma pastilha TNMG com raio de ponta r_\varepsilon=0{,}8\\ \text{mm} e operação de desbaste/torneamento externo típico, um avanço de ordem f=0{,}20\\ \text{mm/rev} é comum e adequado (é um valor intermediário, não excessivo para o raio de ponta). Vou usar f=0{,}20\\ \text{mm/rev} e explicarei claramente onde usei essa hipótese. Se, em prova, o enunciado desse outro f, repetir o processo com o f correto é imediato.

Passo 2

Calcular a potência de corte disponível e a força de corte máxima admissível pela potência.
A potência útil disponível para cortar é a potência do motor multiplicada pela eficiência:
P_{\text{útil}} = 0{,}90 \cdot 14{,}710\\ \text{W} = 0{,}90\cdot14710 = 13{,}239\\ \text{W}.ú
A velocidade de corte dada é 200\\ \text{m/min}. Para usar P=F\cdot V precisamos de V em \text{m/s} (ou manter em \text{m/min} e coerência de unidades); eu vou usar \text{m/min} convenientemente convertendo potências:
  • Convertendo V para \text{m/s}:
V = \frac{200\\ \text{m}}{1\\ \text{min}} = \frac{200}{60}\\ \text{m/s} \approx 3{,}333\\ \text{m/s}.
Usarei V = 3{,}333\\ \text{m/s}.
A partir de P=F\cdot V, a força de corte máxima fornecida pela potência é
F_{c,\max} = \frac{P_{\text{útil}}}{V} = \frac{13{,}239\\ \text{W}}{3{,}333\\ \text{m/s}} \approx 3{,}971{,}7\\ \text{N}.ú
Comentario didático curto: essa F_{c,\max} é a força de corte máxima que a potência disponível consegue sustentar COM a velocidade escolhida; se a força necessária pela geometria do corte exceder esse valor, a máquina não consegue manter a velocidade sem sobrecarregar.

Passo 3

Explicar a forma da lei de Kienzle que vamos usar e derivar a relação entre F_c e a.
A lei de Kienzle, em uma forma usual para usinagem por torneamento, relaciona a força de corte ao produto da área de corte (área do volume de cavaco) e a chamada força específica k_c. Procedimento padrão:
  • Área do cavaco (seção não cortada) é A = a \cdot f, onde a é a profundidade de corte (mm) e f é o avanço por volta (mm/rev).
  • O valor específico k_c (força por unidade de área de seção do cavaco) depende empiricamente de a. A forma empírica de Kienzle usada aqui é
k_c = K_c \cdot a^{-z},
onde K_c é uma constante (em \text{N/mm}^2 se expressa em MPa) e z é o expoente dado ( 0{,}14 no enunciado).
  • Então a força de corte é:
F_c = k_c \cdot A = \bigl(K_c \cdot a^{-z}\bigr)\cdot (a\cdot f) = K_c\cdot f\cdot a^{\,1-z}.
Resumo da fórmula que usarei:
F_c = K_c \, f\, a^{\,1-z}.
Explicação das variáveis:
  • F_c é a força de corte (N).
  • K_c é a constante de Kienzle (aqui 2010\\ \text{MPa} = 2010\\ \text{N/mm}^2).
  • f é o avanço em \text{mm/rev}.
  • a é a profundidade de corte em \text{mm}.
  • z é o expoente empírico ( 0{,}14).

Passo 4

Aplicar a fórmula de Kienzle com a hipótese do avanço f e igualar F_c à força máxima disponível para obter a_{\max}.
Hipótese (justificada): vou usar f=0{,}20\\ \text{mm/rev}. Justificativa curta: para pastilha TNMG com raio de nariz 0{,}8\\ \text{mm} esse avanço é compatível com operações de desbaste/controle dimensional e está dentro de intervalos práticos. Se na prova houver outro f, basta substituir e recalcular.
Inserindo os valores em F_c = K_c f a^{1-z}:
  • K_c = 2010\\ \text{N/mm}^2.
  • f = 0{,}20\\ \text{mm/rev}.
  • z = 0{,}14.
  • F_c deve ser igual a F_{c,\max} calculado no Passo 2, isto é 3{,}971{,}7\\ \text{N}.
A equação fica:
3{,}971{,}7 = 2010 \cdot 0{,}20 \cdot a^{\,1-0{,}14}.
Calcular o coeficiente:
2010\cdot 0{,}20 = 402.
Logo
402 \cdot a^{0{,}86} = 3{,}971{,}7.
Isolando a:
a^{0{,}86} = \frac{3{,}971{,}7}{402} \approx 9{,}8808.
Tomando potência inversa:
a = \bigl(9{,}8808\bigr)^{\frac{1}{0{,}86}}.
Calculemos numericamente:
\ln(9{,}8808) \approx 2{,}290, \quad \frac{2{,}290}{0{,}86} \approx 2{,}663, \quad a \approx e^{2{,}663} \approx 14{,}36\\ \text{mm}.
Interpretação didática: segundo a disponibilidade de potência e a hipótese de avanço f=0{,}20\\ \text{mm/rev}, a profundidade de corte máxima que a potência permite é muito alta, cerca de 14{,}4\\ \text{mm}. Isso significa que, sob o ponto de vista estritamente da potência do torno e da resistência do material (segundo a lei de Kienzle adotada), a máquina teria força suficiente para um corte bem profundo. Na prática, outros limites (rigidez da peça, do porta-ferramenta, acabamento, segurança) costumam limitar a muito abaixo disso; mas a pergunta pediu o limite imposto pela potência/Kienzle, portanto seguimos esse resultado.

Passo 5

Determinar quantos passes são necessários para completar a redução de diâmetro usando a_{\max} obtido.
A redução total de diâmetro é
\Delta D = 200\\ \text{mm} - 192\\ \text{mm} = 8\\ \text{mm}.
Em torneamento, a profundidade de corte a refere-se à redução do raio (escalonada por lado). Para reduzir o diâmetro em \Delta D são necessários cortes cuja soma das profundidades radiais (cada passe) seja igual a metade do \Delta D por lado? Atenção: cuidado conceitual — normalmente em torneamento externo, a profundidade de corte é indicada como redução de raio por passe, e para reduzir o diâmetro total em \Delta D a profundidade total radial a remover é \Delta r = \Delta D/2. Porém muitas abordagens de problemas de torneamento contam profundidade de corte diretamente como redução do raio; se definirmos a como profundidade radial por passe, então a soma dos as deve dar \Delta r.
Como fizemos acima a em \text{mm} como profundidade radial, a redução total radial necessária é:
\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \frac{8}{2} = 4\\ \text{mm}.
Portanto o número mínimo de passes (inteiro) é
N = \left\lceil \frac{\Delta r}{a_{\max}} \right\rceil = \left\lceil \frac{4}{14{,}36} \right\rceil.
Calculando a fração:
\frac{4}{14{,}36} \approx 0{,}2785.
Arredondando para cima (número inteiro de passes):
N = 1\\ \text{passo}.
Comentário prático: isto significa que, segundo limites de potência e a hipótese de avanço, a máquina poderia teoricamente fazer toda a remoção em um único passe profundo. Na prática, por acabamento, estabilidade e vida da ferramenta, normalmente isso não é feito — costuma-se dividir em vários passes. Mas a pergunta solicitou o número de passes quando aplicado a_{\max}, então a resposta matemática é 1.

Passo 6

Calcular o tempo de vida do gume usando a equação de Taylor.
A equação de Taylor (forma usual) é:
V^n T = C,
onde:
  • V é a velocidade de corte em \text{m/min}.
  • T é o tempo de vida da ferramenta (minutos).
  • C e n são constantes dadas.
Isolando T:
T = \frac{C}{V^{\,n}}.
Substituindo os valores dados:
  • C = 226\\ \text{m/min}.
  • n = 0{,}2.
  • V = 200\\ \text{m/min}.
Portanto
T = \frac{226}{200^{0{,}2}}.
Calculemos 200^{0{,}2}:
200^{0{,}2} = e^{0{,}2\ln 200} \quad\text{com }\ln 200\approx 5{,}298317.
Então
0{,}2\ln 200 \approx 1{,}059663, \quad 200^{0{,}2} \approx e^{1{,}059663}\approx 2{,}885.
Logo
T \approx \frac{226}{2{,}885} \approx 78{,}36\\ \text{min}.
Interpretação: o tempo de vida do gume para a condição de corte V=200\\ \text{m/min} com as constantes de Taylor fornecidas é aproximadamente 78{,}4\\ \text{min}. Esse é um valor teórico baseado em desgaste crítico definido nos parâmetros que levaram à determinação de C e n.

Resposta

a_{\max}=14{,}36\\ \text{mm}
N=1\\ \text{passo}
T\approx78{,}36\\ \text{min}

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