Quando luz de comprimento de onda de 4500 \AA incide numa superfície limpa de sódio metálico, são expelidos elétrons cuja energia máxima é 2,1 eV . Qual será o comprimento de onda máximo da luz que expele elétrons do sódio metálico? Qual a energia de ligação de um elétron a um cristal de sódio?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
Dados:
  • Comprimento de onda da luz incidente: \lambda_1 = 4500\\ \AA.
  • Energia máxima dos elétrons emitidos com essa luz: K_{\max}=2{,}1\\ \text{eV}.
Perguntas:
  1. Qual é o comprimento de onda máximo \lambda_{\max} da luz que ainda consegue expelir elétrons do sódio metálico? (ou seja, o comprimento de onda limiar/threshold)
  2. Qual é a energia de ligação de um elétron a um cristal de sódio? (isto é, a função trabalho \Phi — a energia mínima que prende o elétron no metal)

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (a “aula” rápida e prática):
  • Um fóton de luz tem energia dada por
E_{\text{fóton}} = \frac{hc}{\lambda},ó
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. Aqui E_{\text{fóton}}ó tem unidades de energia e \lambda é o comprimento de onda.
  • No efeito fotoelétrico, a energia do fóton é gasta em duas partes: arrancar o elétron do metal (função trabalho \Phi) e dar energia cinética máxima ao elétron:
K_{\max} = E_{\text{fóton}} - \Phi.ó
  • O comprimento de onda máximo \lambda_{\max} que ainda remove elétrons corresponde ao caso limite K_{\max}=0. Então
\lambda_{\max} = \frac{hc}{\Phi}.
  • Para facilitar contas em unidades de elétron-volt e angström usamos a constante prática
hc \approx 12400\\ \text{eV}\cdot\AA,
ou seja, a energia do fóton em eV é \displaystyle E(\text{eV})=\frac{12400}{\lambda(\AA)}. Vou usar essa forma para evitar ficar carregando h, c e a conversão J↔eV no meio das contas.

Passo 3

Calcular a energia do fóton correspondente a \lambda_1=4500\\ \AA usando a fórmula prática:
E_1=\frac{12400}{\lambda_1(\AA)}=\frac{12400}{4500}.
Fazendo a divisão:
E_1=\frac{12400}{4500}=\frac{124}{45}\\ \text{eV}\approx 2{,}7556\\ \text{eV}.
Isso é a energia do fóton que chega ao sódio.

Passo 4

Usar a relação do efeito fotoelétrico para obter a função trabalho \Phi:
\Phi = E_1 - K_{\max}.
Substituindo E_1=\frac{124}{45}\\ \text{eV} e K_{\max}=2{,}1\\ \text{eV}=\frac{21}{10}\\ \text{eV}, faça a subtração com denominador comum:
\Phi = \frac{124}{45}-\frac{21}{10}.
Colocando em denominador comum 90:
\Phi=\frac{248}{90}-\frac{189}{90}=\frac{59}{90}\\ \text{eV}.
Numericamente:
\Phi\approx 0{,}6556\\ \text{eV}.

Passo 5

Converte a função trabalho para joules (se quiser comparar com S.I.):
1\\ \text{eV}=1{,}602\times 10^{-19}\\ \text{J},
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\Phi \approx 0{,}6556\times 1{,}602\times 10^{-19}\\ \text{J}\approx 1{,}05\times 10^{-19}\\ \text{J}.
(Isto é só conversão de unidades; a resposta pedida normalmente fica em eV, que é conveniente aqui.)

Passo 6

Calcular o comprimento de onda máximo \lambda_{\max} usando \lambda_{\max}=\dfrac{hc}{\Phi}. Em eV·Å:
\lambda_{\max}(\AA)=\frac{12400}{\Phi(\text{eV})}=\frac{12400}{59/90}=\frac{12400\times 90}{59}.
Faço a multiplicação e divisão:
\lambda_{\max}(\AA)=\frac{1\,116\,000}{59}\approx 18915{,}254\\ \AA.
Converter para unidades mais usuais:
\lambda_{\max}\approx 18915{,}3\\ \AA = 1891{,}53\\ \text{nm} = 1{,}8915\\ \mu\text{m}.
Interpretação rápida: comprimentos de onda maiores (mais longos) que esse não têm fótons com energia suficiente para liberar elétrons; esse valor é no infravermelho.

Passo 7

Resumo didático do raciocínio para você fixar:
  • Primeiro calculei a energia do fóton da luz dada por \displaystyle E=\frac{12400}{\lambda(\AA)}.
  • Usei K_{\max}=E-\Phi para isolar \Phi.
  • Depois usei \lambda_{\max}=\frac{hc}{\Phi} (caso K_{\max}=0) para achar o comprimento de onda limiar.
  • A função trabalho \Phi é exatamente a energia de ligação do elétron ao cristal (resposta da segunda pergunta).

Resposta

\lambda_{\max}\approx 1{,}8915\times 10^{4}\\ \AA \;=\;1891{,}5\\ \text{nm}
\Phi\approx 0{,}6556\\ \text{eV}\;=\;1{,}05\times 10^{-19}\\ \text{J}

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