Qual o comprimento de onda da linha espectral correspondente à transição no átomo de hidrogênio, do estado
para o estado
?
Passo 1
O que o problema pede: determinar o comprimento de onda da linha espectral emitida pelo átomo de hidrogênio quando há a transição do estado inicial
para o estado final
.
Informações relevantes dadas (explicitamente pelo enunciado):
Informações que vamos usar (constantes padrão, já que o enunciado não forneceu valores numéricos):
(este é o valor da constante de Rydberg para o átomo de hidrogênio, em unidades de
).
Também usaremos a relação entre metro e nanômetro: .
Também usaremos a relação entre metro e nanômetro:
Passo 2
Fórmula a ser usada e explicação didática: vamos usar a fórmula de Rydberg para comprimento de onda de uma transição eletrônica no hidrogênio. A fórmula diz:
Explicação de cada termo:
-
é o comprimento de onda da radiação emitida (unidade: metros). -
é a constante de Rydberg para o hidrogênio (unidade: ). -
é o número quântico principal do estado inicial (o nível mais alto, aqui ). -
é o número quântico principal do estado final (o nível mais baixo, aqui ).
Por que essa fórmula funciona (intuição simples): quando o elétron cai de
para
ele perde energia; essa energia perdida aparece como um fóton com energia
. A diferença de energia entre níveis é proporcional a
. A constante
já reúne
etc. de forma que a expressão acima dá diretamente
.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os valores dados:
então o parêntese fica
Calculemos essa diferença passo a passo: comum denominador
,
logo
Passo 4
Substituímos na fórmula de Rydberg:
Isto é uma simplificação muito conveniente: para esta transição específica,
é simplesmente
dividido pela constante de Rydberg.
Passo 5
Agora fazemos a conta numérica. Usando
,
Primeiro calculamos o quociente (mostrando a ideia do cálculo manual): dividir por
é equivalente a dividir por
e multiplicar por
. O valor numérico resulta em aproximadamente
Convertendo para nanômetros (
):
Passo 6
Interpretação e comparação rápida: o valor está na região do infravermelho próximo (comprimentos de onda maiores que
), coerente com o fato de transições para
fazerem parte da série apropriada desse conjunto de linhas. Essa verificação é apenas um conforto: o cálculo acima já fornece o valor numérico correto.