Qual o comprimento de onda da linha espectral correspondente à transição no átomo de hidrogênio, do estado \mathrm{n}=6 para o estado \mathrm{n}=3 ?

Passo 1

O que o problema pede: determinar o comprimento de onda da linha espectral emitida pelo átomo de hidrogênio quando há a transição do estado inicial \mathrm{n}=6 para o estado final \mathrm{n}=3.
Informações relevantes dadas (explicitamente pelo enunciado):
\text{estado inicial: }\mathrm{n_i}=6,\qquad \text{estado final: }\mathrm{n_f}=3.
Informações que vamos usar (constantes padrão, já que o enunciado não forneceu valores numéricos):
R_H = 1,097373\times 10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}
(este é o valor da constante de Rydberg para o átomo de hidrogênio, em unidades de \mathrm{m^{-1}}).
Também usaremos a relação entre metro e nanômetro: 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Fórmula a ser usada e explicação didática: vamos usar a fórmula de Rydberg para comprimento de onda de uma transição eletrônica no hidrogênio. A fórmula diz:
\frac{1}{\lambda} = R_H\!\left(\frac{1}{n_f^{2}} - \frac{1}{n_i^{2}}\right).
Explicação de cada termo:
  • \lambda é o comprimento de onda da radiação emitida (unidade: metros).
  • R_H é a constante de Rydberg para o hidrogênio (unidade: \mathrm{m^{-1}}).
  • n_i é o número quântico principal do estado inicial (o nível mais alto, aqui 6).
  • n_f é o número quântico principal do estado final (o nível mais baixo, aqui 3).
Por que essa fórmula funciona (intuição simples): quando o elétron cai de n_i para n_f ele perde energia; essa energia perdida aparece como um fóton com energia E=hc/\lambda. A diferença de energia entre níveis é proporcional a \left(\dfrac{1}{n_f^{2}}-\dfrac{1}{n_i^{2}}\right). A constante R_H já reúne m_e, e, h, c etc. de forma que a expressão acima dá diretamente \dfrac{1}{\lambda}.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os valores dados:
n_f=3,\qquad n_i=6,
então o parêntese fica
\frac{1}{n_f^{2}} - \frac{1}{n_i^{2}} = \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{6^{2}} = \frac{1}{9} - \frac{1}{36}.
Calculemos essa diferença passo a passo: comum denominador 36,
\frac{1}{9} = \frac{4}{36},\qquad \frac{1}{36}=\frac{1}{36},
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\frac{1}{9}-\frac{1}{36} = \frac{4}{36}-\frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}.

Passo 4

Substituímos na fórmula de Rydberg:
\frac{1}{\lambda} = R_H\cdot\frac{1}{12} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{12}{R_H}.
Isto é uma simplificação muito conveniente: para esta transição específica, \lambda é simplesmente 12 dividido pela constante de Rydberg.

Passo 5

Agora fazemos a conta numérica. Usando R_H = 1,097373\times 10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}},
\lambda = \frac{12}{1,097373\times 10^{7}}\\ \mathrm{m}.
Primeiro calculamos o quociente (mostrando a ideia do cálculo manual): dividir por 1,097373\times 10^{7} é equivalente a dividir por 1,097373 e multiplicar por 10^{-7}. O valor numérico resulta em aproximadamente
\lambda \approx 1,0937\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}):
\lambda \approx 1,0937\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}\times 10^{9}\\ \frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{m}} = 1093,7\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Interpretação e comparação rápida: o valor está na região do infravermelho próximo (comprimentos de onda maiores que \sim 700\\ \mathrm{nm}), coerente com o fato de transições para n_f=3 fazerem parte da série apropriada desse conjunto de linhas. Essa verificação é apenas um conforto: o cálculo acima já fornece o valor numérico correto.

Resposta

\,1093,7\\ \mathrm{nm}

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