A luz de uma lâmpada não-polarizada de I_{0}=3 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} incide em duas lâminas polarizadas cujos eixos de transmissão fazem um ângulo \theta=60^{\circ}. Determine a intensidade transmitida pela segunda lâmina.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a intensidade transmitida pela segunda lâmina polarizadora quando luz não-polarizada de intensidade I_{0}=3\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} incide sobre duas lâminas polarizadoras cujos eixos de transmissão formam um ângulo \theta=60^\circ.\n
Informações dadas:
I_{0}=3\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},
\theta=60^\circ.

Passo 2

Entendendo o que acontece na primeira lâmina: luz não-polarizada tem os campos elétricos oscilando em todas as direções transversais igualmente. Um polarizador ideal seleciona apenas a componente do campo numa direção (o eixo de transmissão). A consequência prática para a intensidade é que, em média, metade da energia da luz não-polarizada passa pelo primeiro polarizador. Um modo simples de ver isso é usar a média de \cos^2\varphi sobre todas as direções \varphi:
\langle\cos^2\varphi\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi=\tfrac{1}{2}.
Portanto, após a primeira lâmina a luz fica polarizada e com metade da intensidade incidente.

Passo 3

Aplicando o resultado do passo anterior, a intensidade logo após a primeira lâmina é
I_{1}=\frac{I_{0}}{2}.
Substituindo I_{0}=3,
I_{1}=\frac{3}{2}=1,5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Agora a segunda lâmina (analisador) está inclinada em relação à primeira por um ângulo \theta. Para luz já polarizada, a intensidade transmitida por um analisador é dada pela Lei de Malus:
I_{\text{trans}}=I_{\text{inc}}\cos^{2}\varphi,
onde I_{\text{inc}} é a intensidade da luz incidente sobre o analisador e \varphi é o ângulo entre a direção de polarização da luz incidente e o eixo do analisador. A justificativa física: o campo elétrico tem componente E\cos\varphi na direção do eixo do analisador, e intensidade é proporcional a E^{2}, daí o fator \cos^{2}\varphi.

Passo 5

Aplicando Malus à segunda lâmina com \varphi=\theta=60^\circ e I_{\text{inc}}=I_{1}, obtemos
I_{2}=I_{1}\cos^{2}60^\circ.
Sabemos que \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}, então \cos^{2}60^\circ=\tfrac{1}{4}. Substituindo I_{1}=\dfrac{I_{0}}{2},
I_{2}=\frac{I_{0}}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{I_{0}}{8}.
Com I_{0}=3,
I_{2}=\frac{3}{8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}=0,375\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Resumo prático para a prova: primeiro polarizador reduz a intensidade de luz não-polarizada para metade; depois aplique Malus com o ângulo entre os eixos das lâminas. Vai dar sempre uma expressão simples como I_{2}=I_{0}\times(\tfrac{1}{2})\times\cos^{2}\theta. No nosso caso o resultado é \dfrac{I_{0}}{8}. Força aí — você consegue!

Resposta

\dfrac{3}{8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} (ou 0,375\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2})

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