M.8.22 Considere uma partícula de massa mu e momento angular l que se move sob a ação de uma força central dada por F(r)=-k r^-3, onde k>0 é uma constante.
(a) Determine a equação da órbita para l^2=mu k, l^2<mu k e l^2>mu k.
(b) Verifique se a partícula pode apresentar uma órbita circular estável.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa mu e momento angular l sob a força central
F(r) = -,k,r^-3, k>0
Pede-se (a) a equação da órbita nos casos ,l^2=mu k, ,l^2<mu k e ,l^2>mu k; (b) verificar se existe órbita circular estável.
Para resolver vamos usar a mudança de variável
u(theta)=1r(theta)
e a equação diferencial padrão das órbitas em força central.

Passo 2

A equação geral de órbita em força central é
d^2udtheta^2 + u ;=; -,mul^2,u^2;F!l(1/ur)
Como F(r)=-k,r^-3, ao substituirmos r=1/u obtemos
-,mul^2,u^2;F(1/u) = -,mul^2,u^2l(-k,u^3r) = mu,kl^2;u
Logo a equação de órbita fica
d^2udtheta^2 + u = mu,kl^2;u Longrightarrow d^2udtheta^2 + l(1-mu kl^2r)u = 0
Defina
gamma ;=; 1 - mu kl^2

Passo 3

Caso ,l^2>mu k temos gamma>0. Então a equação
d^2udtheta^2 + gamma,u = 0
é harmônica de frequência raizgamma. A solução geral é
u(theta) = Acos!l(raizgamma,thetar) + Bsin!l(raizgamma,thetar),
onde A,B vêm das condições iniciais. Em termos de r:
r(theta) = 1Acos(raizgamma,theta)+Bsin(raizgamma,theta)

Passo 4

Caso ,l^2<mu k temos gamma<0. Escreva beta = raizmu kl^2 -1>0. Então
d^2udtheta^2 - beta^2,u = 0
tem solução exponencial
u(theta) = C,e^betatheta + D,e^-betatheta
Logo
r(theta) = 1C,e^betatheta + D,e^-betatheta

Passo 5

Caso ,l^2=mu k faz gamma=0 e a eq. reduz-se a
d^2udtheta^2 = 0 Longrightarrow u(theta) = E,theta + F
Portanto
r(theta) = 1E,theta + F,
ou seja, uma espiral de Arquimedes.

Passo 6

Para órbita circular em r=r0 constante, precisamos em primeiro lugar que
dVrm effdr|r0 = 0,
onde
Vrm eff(r) = l^22mu,r^2 ;-;k2,r^2 = l^2-mu k2mu,r^2
Calculando
dVrm effdr = -,l^2-mu kmu,r^3,
vemos que só pode anular se l^2-mu k=0. Logo a única possibilidade de r0 existe quando
,l^2=mu k.
Para verificar estabilidade, olhamos o segundo coeficiente
d^2Vrm effdr^2 = 3,(l^2-mu k)mu,r^4
que também se anula em l^2=mu k. Isso indica equilíbrio neutro, não mínimo local. Portanto não há órbita circular estável.

Resposta

(a)
r(theta)= 1Acosl(raiz1-tfracmu kl^2,thetar)+Bsinl(raiz1-tfracmu kl^2,thetar), & l^2>mu k,[6pt] 1C,e^betatheta+D,e^-betatheta, beta=raiztfracmu kl^2-1, & l^2<mu k,[6pt] 1E,theta + F, & l^2=mu k
(b) Não existe órbita circular estável; em l^2=mu k surge apenas equilíbrio neutro.]

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