M.8.22 Considere uma partícula de massa e momento angular que se move sob a ação de uma força central dada por , onde é uma constante.
(a) Determine a equação da órbita para e .
(b) Verifique se a partícula pode apresentar uma órbita circular estável.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa e momento angular sob a força central
Pede-se (a) a equação da órbita nos casos , e ; (b) verificar se existe órbita circular estável.
Para resolver vamos usar a mudança de variável
e a equação diferencial padrão das órbitas em força central.
Passo 2
A equação geral de órbita em força central é
Como , ao substituirmos obtemos
Logo a equação de órbita fica
Defina
Passo 3
Caso temos . Então a equação
é harmônica de frequência . A solução geral é
onde vêm das condições iniciais. Em termos de :
Passo 4
Caso temos . Escreva . Então
tem solução exponencial
Logo
Passo 5
Caso faz e a eq. reduz-se a
Portanto
ou seja, uma espiral de Arquimedes.
Passo 6
Para órbita circular em constante, precisamos em primeiro lugar que
vemos que só pode anular se l^2-mu k=0. Logo a única possibilidade de r0 existe quando ,l^2=mu k.
Para verificar estabilidade, olhamos o segundo coeficiente
d^2Vrm effdr^2 = 3,(l^2-mu k)mu,r^4
que também se anula em l^2=mu k. Isso indica equilíbrio neutro, não mínimo local. Portanto não há órbita circular estável.