M.8.14 Considere uma partícula de massa
e momento angular
que se move em uma trajetória descrita pela equação
, onde
é uma constante.
(a) Determine a forma da força central
.
(b) Determine o ponto de equilíbrio do potencial efetivo
.
(a) Determine a forma da força central
(b) Determine o ponto de equilíbrio do potencial efetivo
Passo 1
O enunciado fala de uma partícula de massa
e momento angular constante
sob uma força central, cujo trajeto é
Estamos em mecânica clássica de forças centrais e vamos usar a fórmula de Binet para associar essa órbita à força
. Depois construímos o potencial efetivo
e procuramos o ponto de equilíbrio, isto é, o valor de
que anula
.
Passo 2
Definimos
e calculamos as derivadas em relação a
:
A fórmula de Binet para a força central é
Substituindo
e
, obtemos
Como
implica
e
, segue
logo
Passo 3
Para achar o potencial
tal que
, integramos
A primitiva é
Então o potencial efetivo fica
Passo 4
Procuramos equilíbrio resolvendo
Como
,
,
e
são positivos para
, essa derivada nunca se anula em
. Portanto não existe ponto de equilíbrio estável (nem instável) a menos de
, caso em que a órbita seria trivial.
Resposta
(a)
(b) Não há que satisfaça
; o potencial efetivo não possui ponto de equilíbrio.
(b) Não há