M.8.14 Considere uma partícula de massa mu e momento angular l que se move em uma trajetória descrita pela equação r(theta)=k theta^2, onde k é uma constante.
(a) Determine a forma da força central F(r).
(b) Determine o ponto de equilíbrio do potencial efetivo Ve f f(r).

Passo 1

O enunciado fala de uma partícula de massa mu e momento angular constante l sob uma força central, cujo trajeto é
r(theta)=k,theta^2
Estamos em mecânica clássica de forças centrais e vamos usar a fórmula de Binet para associar essa órbita à força F(r). Depois construímos o potencial efetivo
Vrm eff(r)=V(r)+l^22mu,r^2
e procuramos o ponto de equilíbrio, isto é, o valor de r que anula dfracdVrm effdr.

Passo 2

Definimos
u(theta)=1r(theta)=1k,theta^2
e calculamos as derivadas em relação a theta:
dudtheta=-2k,theta^3, d^2udtheta^2=6k,theta^4
A fórmula de Binet para a força central é
F(r)=-l^2mu,u^2l(d^2udtheta^2+ur)
Substituindo
d^2udtheta^2+u=6k,theta^4+1k,theta^2 =6+theta^2k,theta^4
e u=1/(k,theta^2), obtemos
F(r) =-l^2mu,1(k,theta^2)^2, 6+theta^2k,theta^4 =-l^2mu,6+theta^2k^3,theta^8
Como r=k,theta^2 implica theta^2=r/k e theta^8=(r/k)^4, segue
6+theta^2k^3,theta^8 =6k+rr^4,
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F(r)=-l^2mu,6k+rr^4

Passo 3

Para achar o potencial V(r) tal que F(r)=-dfracdVdr, integramos
dVdr=-F(r) =l^2mu,6k+rr^4 =6k,l^2mu,r^-4+l^2mu,r^-3
A primitiva é
V(r) =6k,l^2mu!integral r^-4dr +l^2mu!integral r^-3dr =-2k,l^2mu,r^3 -l^22mu,r^2+C
Então o potencial efetivo fica
Vrm eff(r) =V(r)+l^22mu,r^2 =-2k,l^2mu,r^3+C

Passo 4

Procuramos equilíbrio resolvendo
dVrm effdr =-2k,l^2mu,(-3),r^-4 =6k,l^2mu,r^4=0
Como k, l, mu e r^4 são positivos para r>0, essa derivada nunca se anula em r<infty. Portanto não existe ponto de equilíbrio estável (nem instável) a menos de k=0, caso em que a órbita seria trivial.

Resposta

(a) F(r)=-l^2mu,6k+rr^4
(b) Não há r>0 que satisfaça dfracdVrm effdr=0; o potencial efetivo não possui ponto de equilíbrio.

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