Se m \leqslant f(x, y) \leqslant M para todo (x, y) em D, então
m A(D) \leqslant \iint_{D} f(x, y) d A \leqslant M A(D)

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma função f integrável em D, temos
m \le f(x,y)\le M\quad\text{para todo }(x,y)\in D.
Queremos mostrar que
m\,A(D)\le \iint_{D}f(x,y)\,dA \le M\,A(D).
O conteúdo usado será o das somas de Darboux (somas inferiores e superiores).

Passo 2

Considere uma partição arbitrária P de D em retângulos R_i de área \Delta A_i. Defina
m_i = \inf_{(x,y)\in R_i}f(x,y).
Como m\le f(x,y) em todo D, segue m\le m_i para cada i. A soma inferior é
L(f,P) \;=\;\sum_i m_i\,\Delta A_i \;\ge\;\sum_i m\,\Delta A_i \;=\;m\sum_i\Delta A_i \;=\;m\,A(D).

Passo 3

Do mesmo modo, defina
M_i = \sup_{(x,y)\in R_i}f(x,y).
Como f(x,y)\le M em todo D, segue M_i\le M. A soma superior é
U(f,P) \;=\;\sum_i M_i\,\Delta A_i \;\le\;\sum_i M\,\Delta A_i \;=\;M\,A(D).

Passo 4

Pela definição de integral dupla (assumindo f integrável), temos
\sup_P L(f,P)\;\le\;\iint_D f(x,y)\,dA\;\le\;\inf_P U(f,P).
Como para todo P vale L(f,P)\ge m\,A(D) e U(f,P)\le M\,A(D), concluímos
m\,A(D)\;\le\;\iint_{D}f(x,y)\,dA\;\le\;M\,A(D).

Resposta

m\,A(D)\le \iint_{D}f(x,y)\,dA \le M\,A(D).

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