Se
para todo
em
, então
Passo 1
O enunciado afirma que, para uma função
integrável em
, temos
Queremos mostrar que
O conteúdo usado será o das somas de Darboux (somas inferiores e superiores).
Passo 2
Considere uma partição arbitrária
de
em retângulos
de área
. Defina
Como
em todo
, segue
para cada
. A soma inferior é
Passo 3
Do mesmo modo, defina
Como
em todo
, segue
. A soma superior é
Passo 4
Pela definição de integral dupla (assumindo
integrável), temos
Como para todo
vale
e
, concluímos