Se
com
dizemos que
é divisor próprio de
. Se
é um divisor positivo próprio de
mostrar que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são inteiros positivos com . -
é um divisor próprio positivo de . Isso significa que divide e que .
O que se pede: mostrar que
.
Passo 2
Usar a definição de divisibilidade: como
divide
, existe um inteiro positivo
tal que
Aqui explico: dizer que
divide
significa exatamente que
é um múltiplo inteiro de
; escrevemos esse múltiplo como
. Como
e
, tem-se
.
Passo 3
Relacionar
com o fato de ser divisor próprio. Como
, se fosse
teríamos
, o que contradiz
. Portanto
. Como
é inteiro e maior que
, conclui-se que
Passo 4
Isolar
na igualdade
. Temos
Agora, como
e
, ao tomar recíproco obtém-se
. Multiplicando ambos os lados por
(positivo), segue
Isto é, a desigualdade desejada está demonstrada.
Passo 5
Observações finais e exemplos rápidos:
- A igualdade
ocorre exatamente quando , ou seja, quando é metade de . - Exemplo concreto:
é divisor próprio de . Aqui e , conforme a desigualdade.