Se m \mid n com 1 \leq m<n dizemos que m é divisor próprio de n. Se a é um divisor positivo próprio de b>0 mostrar que a \leq b / 2.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a e b são inteiros positivos com b>0.
  • a é um divisor próprio positivo de b. Isso significa que a divide b e que 1 \le a < b.
O que se pede: mostrar que a \le b/2.

Passo 2

Usar a definição de divisibilidade: como a divide b, existe um inteiro positivo k tal que
b = a k.
Aqui explico: dizer que a divide b significa exatamente que b é um múltiplo inteiro de a; escrevemos esse múltiplo como k. Como a>0 e b>0, tem-se k>0.

Passo 3

Relacionar k com o fato de ser divisor próprio. Como a<b, se fosse k=1 teríamos b=a, o que contradiz a<b. Portanto k>1. Como k é inteiro e maior que 1, conclui-se que
k \ge 2.

Passo 4

Isolar a na igualdade b = a k. Temos
a = \frac{b}{k}.
Agora, como k \ge 2 e b>0, ao tomar recíproco obtém-se \dfrac{1}{k} \le \dfrac{1}{2}. Multiplicando ambos os lados por b (positivo), segue
a = \frac{b}{k} \le \frac{b}{2}.
Isto é, a desigualdade desejada está demonstrada.

Passo 5

Observações finais e exemplos rápidos:
  • A igualdade a = b/2 ocorre exatamente quando k=2, ou seja, quando a é metade de b.
  • Exemplo concreto: a=3 é divisor próprio de b=12. Aqui k=4\ge2 e 3 = 12/4 \le 12/2 = 6, conforme a desigualdade.

Resposta

a \le \dfrac{b}{2}

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