Partículas de massa nula (como os fótons de luz) que têm a velocidade c num certo referencial, podem estar em repouso num outro referencial?

Passo 1

O enunciado pergunta se partículas de massa nula (por exemplo, fótons) que têm velocidade \,c\, num certo referencial podem estar em repouso num outro referencial. Informação dada:
  • A partícula tem massa nula.
  • Numa referência S ela se move com velocidade \,c\,.
    A pergunta a responder é: existe algum referencial inercial S' onde essa mesma partícula esteja com velocidade 0 (isto é, em repouso)?

Passo 2

Primeiro vamos usar a fórmula de adição de velocidades da Relatividade Restrita, que diz como a velocidade medida num referencial S' se relaciona com a velocidade medida num referencial S quando S' se move com velocidade \,v\,$ em relação a \(S. A forma usual (para movimento unidimensional, eixos colineares) é
u'=\frac{u-v}{1-\dfrac{u\,v}{c^{2}}},
onde:
  • \,u\, é a velocidade da partícula medida em S,
  • \,v\, é a velocidade do referencial S' em relação a S (ou seja, a velocidade do observador que transforma S\to S'),
  • \,u'\, é a velocidade da partícula medida em S',
  • \,c\, é a velocidade da luz.
    Breve explicação de onde vem essa fórmula: parte das transformações de Lorentz das coordenadas
x'=\gamma(x-vt),\qquad t'=\gamma\!\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right),
com \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}. Se a partícula tem u=dx/dt, então u'=dx'/dt'. Substituindo dx' e dt' e simplificando obtém-se a fórmula acima.)

Passo 3

Agora apliquei a fórmula ao caso \,u=c\, (partícula que em S se move à velocidade c):
u'=\frac{c-v}{1-\dfrac{c\,v}{c^{2}}}=\frac{c-v}{1-\dfrac{v}{c}}.
Fatorando c no numerador e no denominador:
u'=\frac{c\left(1-\dfrac{v}{c}\right)}{1-\dfrac{v}{c}}=c,
desde que v\neq c (o caso v=c não é um boost físico entre referenciais inerciais). Conclusão imediata desta conta: para qualquer referencial inercial cujo movimento relativo tenha \,|v|<c\,, uma partícula que tem \,u=c\, em S também terá \,u'=c\, em S'. Ou seja, não existe transformações de Lorentz (entre referenciais inerciais físicos) que façam c virar 0.

Passo 4

Importante esclarecer por que não se pode simplesmente escolher v=c para “ir junto” com o fóton e assim deixá‑lo em repouso: um referencial inercial é definido por uma transformação de Lorentz com |v|<c. Não existe um referencial inercial que se mova à velocidade c em relação a outro — isso violaria a estrutura da Relatividade Restrita. Portanto não há sentido físico em tomar v=c como mudança de referencial inercial.

Passo 5

Dou um argumento alternativo, usando quadrivetor momento-energia (ajuda a consolidar a ideia). O quadrivetor impulso-energia de uma partícula é p^{\mu}=(E/c,\vec{p}) e o seu quadrado invariável é
p^{\mu}p_{\mu}=\left(\frac{E}{c}\right)^{2}-\vec{p}^{\,2}=m^{2}c^{2},
onde \,m\, é a massa de repouso (invariante). Para uma partícula de massa nula m=0, logo
\left(\frac{E}{c}\right)^{2}-\vec{p}^{\,2}=0\quad\Rightarrow\quad E = c|\vec{p}|.
Se existisse um referencial onde a partícula estivesse em repouso então nesse referencial teríamos \vec{p}=\vec{0}. Substituindo daria \left(\dfrac{E}{c}\right)^{2}=0, ou seja E=0. Isso significaria ausência de partícula (energia zero) — portanto não existe referencial físico onde uma partícula com E>0 fique em repouso. Resultado: partículas com m=0 não têm quadro de repouso.

Passo 6

Resumo conceitual: numa teoria relativística consistente (referenciais inerciais ligados por transformações de Lorentz) partículas sem massa movem-se sempre à velocidade \,c em todos esses referenciais; não existe referencial inercial onde elas estejam em repouso.

Resposta

Não — uma partícula de massa nula que tem velocidade c num referencial inercial não pode estar em repouso em nenhum outro referencial inercial; em todos os referenciais inerciais sua velocidade é c.

Exercícios relacionados