Uma maçã é resfriada de 21 a 4{ }^{\circ} \mathrm{C} por uma corrente de água fria ( 2{ }^{\circ} \mathrm{C} ). Sabendo: i) que a dimensão e propriedades termofísicas da maça: \mathrm{k}=0,35 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K} ; \rho=800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{c}=3,56 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, raio =3 cm ; ii) que o fluxo de água entre as maçãs resulta em um coeficiente de transferência de calor por convecção igual a 3400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}, determine os tempos requeridos para que: a) o centro da maçã alcance a temperatura de 4^{\circ} \mathrm{C}; b) a seção situada a 1 cm da superfície da fruta alcance 4^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vamos listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura inicial da maçã: T_i = 21{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura do escoamento de água (ambiente térmico): T_\infty = 2{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura alvo: T = 4{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Propriedades da maçã (assumidas constantes):
    • Condutividade térmica: k = 0{,}35\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Densidade: \rho = 800\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Calor específico: c = 3{,}56\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 3560\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Geometria: esfera de raio R = 3\\ \mathrm{cm} = 0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente convectivo: h = 3400\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O enunciado pede:
(a) tempo para o centro da maçã atingir 4{ }^{\circ}\mathrm{C};
(b) tempo para o ponto situado a 1\\ \mathrm{cm} da superfície (logo, a distância radial do centro é r = R - 0{,}01\\ \mathrm{m} = 0{,}02\\ \mathrm{m}) atingir 4{ }^{\circ}\mathrm{C}.
Observação numérica importante que usarei ao longo da resolução:
  • Temperatura adimensional (para qualquer ponto) é \displaystyle \theta = \frac{T-T_\infty}{T_i - T_\infty}.
  • Para T=4{ }^{\circ}\mathrm{C}, \displaystyle \theta_{\text{alvo}}=\frac{4-2}{21-2}=\frac{2}{19}\approx0{,}105263.

Passo 2

Decidir o método: primeiro calcule o número de Biot para saber se podemos usar o modelo de corpo perfeitamente homogêneo (método de capacitância concentrada) ou se precisamos da solução de difusão transiente no sólido.
O comprimento característico para uma esfera é L_c = V/A = R/3. Portanto
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{h R}{3k}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Bi}=\frac{3400\cdot 0{,}03}{3\cdot 0{,}35}=\frac{102}{1{,}05}\approx97{,}142857.
Interpretação didática: o critério usual é que, se \mathrm{Bi}<0{,}1, o corpo pode ser tratado como isoterma internamente (modelo de lumped). Aqui \mathrm{Bi}\gg 0{,}1 (aprox. 97), ou seja: a resistência à convecção é muito menor do que a resistência ao fluxo térmico interno — o gradiente interno é importante. Logo NÃO podemos usar o método de capacitância concentrada e devemos resolver a equação de difusão no domínio radial (solução em séries com autofunções para esfera com condição convectiva na superfície).

Passo 3

Apresentar o modelo matemático e a solução usada (resumo didático):
  • A equação de condução transiente em coordenadas radiais (esfera) e condições de contorno são resolvidas por separação de variáveis. A solução para a temperatura adimensional \theta(r,t) (com condição inicial uniforme) pode ser escrita como série:
\theta(r,t)=\sum_{n=1}^{\infty} B_n\,\frac{\sin\!\big(\lambda_n \frac{r}{R}\big)}{\lambda_n \frac{r}{R}}\,\exp\!\big(-\lambda_n^{2}\,Fo\big),
onde
Fo=\frac{\alpha t}{R^{2}} \quad\text{(número de Fourier)}ú
e \alpha é a difusividade térmica,
\alpha=\frac{k}{\rho c}.
  • Os autovalores \lambda_n são as raízes não negativas da equação transcendental que vem da condição convectiva na superfície:
\lambda_n\cot(\lambda_n) + \mathrm{Bi} = 0.
  • Os coeficientes B_n (resultantes da expansão da condição inicial uniforme) são dados por
B_n=\frac{2\big(\sin\lambda_n - \lambda_n\cos\lambda_n\big)}{\lambda_n - \sin\lambda_n\cos\lambda_n}.
Observação didática: essa expressão surge aplicando ortogonalidade das autofunções e integrando a condição inicial. Não vou repetir a dedução completa (séria e comprida), mas uso essa forma padrão das tabelas/teoria de condução transiente em esferas.
  • Para o centro da esfera ( r=0) a forma limite da fração \dfrac{\sin(\lambda_n r/R)}{\lambda_n r/R} é 1; portanto:
\theta(0,t)=\sum_{n=1}^{\infty} B_n\,\exp\!\big(-\lambda_n^{2} Fo\big).
Didática sobre aproximação de um termo: na prática costuma-se usar a aproximação de primeiro termo (n=1) porque o primeiro autovalor domina o decaimento em tempos moderados — especialmente quando \mathrm{Bi} é grande, o primeiro termo fornece boa aproximação para estimar tempos de resfriamento até frações moderadas da diferença inicial. Aqui vamos usar a aproximação de um termo (justificarei numericamente).

Passo 4

Calcular \alpha e o tempo característico R^{2}/\alpha.
\alpha=\frac{k}{\rho c}=\frac{0{,}35}{800\cdot 3560}=\frac{0{,}35}{2\,848\,000}\approx 1{,}2289\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Tempo característico:
\frac{R^{2}}{\alpha}=\frac{(0{,}03)^{2}}{1{,}2289\times10^{-7}}=\frac{0{,}0009}{1{,}2289\times10^{-7}}\approx 7\,326{,}3\\ \mathrm{s}\approx 122{,}1\\ \mathrm{min}.
Esse valor apenas fornece escala de tempo; vamos usar a série com o número de Fourier \displaystyle Fo=\frac{\alpha t}{R^{2}}.

Passo 5

Determinar o primeiro autovalor \lambda_1 resolvendo
\lambda\cot\lambda + \mathrm{Bi} = 0.
Como \mathrm{Bi}\approx97{,}143 é grande, a raiz \lambda_1 está próxima de \pi (comportamento conhecido: para \mathrm{Bi}\to\infty, \lambda_1\to\pi). Para obter uma aproximação simples e eficaz use a aproximação por \lambda_1\approx\pi-\varepsilon com \varepsilon pequeno. Próximo de \pi vale \cot(\pi-\varepsilon)=-\cot\varepsilon\approx -1/\varepsilon. Substituindo na equação:
(\pi-\varepsilon)\cdot\Big(-\frac{1}{\varepsilon}\Big) + \mathrm{Bi}\approx 0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{\pi}{\varepsilon} + \mathrm{Bi}\approx 0
\Rightarrow \varepsilon\approx\frac{\pi}{\mathrm{Bi}}.
Assim
\lambda_1 \approx \pi - \frac{\pi}{\mathrm{Bi}}.
Com \mathrm{Bi}=97{,}142857,
\varepsilon\approx\frac{3{,}141593}{97{,}142857}\approx0{,}032342,
\lambda_1\approx 3{,}141593 - 0{,}032342 \approx 3{,}109251.
Essa aproximação é suficientemente precisa para a primeira raiz dado o Bi grande. (Se necessário, poderia melhorar por iteração numérica; esse valor já é adequado.)

Passo 6

Calcular o coeficiente B_1 com a fórmula fornecida:
B_1=\frac{2\big(\sin\lambda_1 - \lambda_1\cos\lambda_1\big)}{\lambda_1 - \sin\lambda_1\cos\lambda_1}.
Usando \lambda_1\approx3{,}109251:
  • \sin\lambda_1 \approx \sin(\pi - 0{,}032342)\approx 0{,}032336.
  • \cos\lambda_1 \approx \cos(\pi - 0{,}032342)\approx -0{,}999476.
Substituindo:
\begin{aligned} \text{num} &= 2\big(0{,}032336 - 3{,}109251\cdot(-0{,}999476)\big) =2\big(0{,}032336 + 3{,}107436\big)\approx 6{,}279544,\\[4pt] \text{den} &= 3{,}109251 - 0{,}032336\cdot(-0{,}999476) \approx 3{,}109251 +0{,}032319 \approx 3{,}141570. \end{aligned}
Logo
B_1\approx\frac{6{,}279544}{3{,}141570}\approx1{,}99979\approx2{,}00.
Comentário didático: B_1 fica muito próximo de 2 quando \mathrm{Bi} é grande; isso é um resultado clássico (o primeiro coeficiente fica próximo de 2 e domina o comportamento transiente nos tempos não muito pequenos).]

Passo 7

Expressões approximadas (um termo) para temperatura adimensional:
  • No centro r=0:
\theta(0,t)\approx B_1\,\exp\!\big(-\lambda_1^{2}Fo\big).
  • No ponto a r=0{,}02\\ \mathrm{m} (ou seja r/R=2/3):
\theta(r,t)\approx B_1\,\frac{\sin\!\big(\lambda_1\frac{r}{R}\big)}{\lambda_1\frac{r}{R}}\,\exp\!\big(-\lambda_1^{2}Fo\big).
Calculemos os valores numéricos que aparecerão nessas expressões.
Já temos \lambda_1\approx3{,}109251 e B_1\approx1{,}99979. Compute \lambda_1^{2}:
\lambda_1^{2}\approx 9{,}667629.
Para o ponto r=0{,}02\\ \mathrm{m} temos \lambda_1\frac{r}{R}=\lambda_1\cdot\frac{2}{3}\approx 2{,}072834. Então
\frac{\sin\!\big(\lambda_1\frac{r}{R}\big)}{\lambda_1\frac{r}{R}}\approx\frac{\sin(2{,}072834)}{2{,}072834}\approx\frac{0{,}876777}{2{,}072834}\approx0{,}422995.
Multiplicando por B_1:
B_1\cdot\frac{\sin(\lambda_1 r/R)}{\lambda_1 r/R}\approx 1{,}99979\times 0{,}422995\approx 0{,}84599.

Passo 8

Agora resolver para o tempo em cada caso: lembrar que \theta_{\text{alvo}}=2/19\approx0{,}105263.
(a) Centro ( r=0):
\theta_{\text{alvo}} = B_1 e^{-\lambda_1^{2}Fo} \quad\Rightarrow\quad e^{-\lambda_1^{2}Fo}=\frac{\theta_{\text{alvo}}}{B_1}.
Logo
Fo = -\frac{1}{\lambda_1^{2}}\ln\!\left(\frac{\theta_{\text{alvo}}}{B_1}\right).
Numericamente:
\frac{\theta_{\text{alvo}}}{B_1}=\frac{0{,}105263}{1{,}99979}\approx0{,}0526349,
\ln(0{,}0526349)\approx -2{,}944805,
Fo=\frac{2{,}944805}{9{,}667629}\approx 0{,}304640.
Convertendo para tempo:
t = Fo\cdot\frac{R^{2}}{\alpha}=0{,}304640\times 7\,326{,}3\\ \mathrm{s}\approx 2\,232{,}7\\ \mathrm{s}\approx 37{,}21\\ \mathrm{min}.
(b) Ponto a 1\\ \mathrm{cm} da superfície ( r=0{,}02\\ \mathrm{m}):
\theta_{\text{alvo}} = \bigg(B_1\frac{\sin(\lambda_1 r/R)}{\lambda_1 r/R}\bigg)\,e^{-\lambda_1^{2}Fo}.
Então
e^{-\lambda_1^{2}Fo}=\frac{\theta_{\text{alvo}}}{B_1\,\dfrac{\sin(\lambda_1 r/R)}{\lambda_1 r/R}}.
Numericamente o denominador já calculado é \approx0{,}84599. Assim
\frac{\theta_{\text{alvo}}}{0{,}84599}\approx \frac{0{,}105263}{0{,}84599}\approx 0{,}124451,
\ln(0{,}124451)\approx -2{,}084332,
Fo=\frac{2{,}084332}{9{,}667629}\approx 0{,}215564,
t = Fo\cdot\frac{R^{2}}{\alpha}=0{,}215564\times 7\,326{,}3\\ \mathrm{s}\approx 1\,579{,}3\\ \mathrm{s}\approx 26{,}32\\ \mathrm{min}.
Comentário físico e de método: por que a aproximação de um termo é razoável aqui? Porque para \mathrm{Bi} grande o primeiro autovalor é relativamente pequeno (a taxa \lambda_1^2 domina o decaimento) e os demais termos possuem expoentes muito maiores (decaiem ainda mais rápido), de modo que, para tempos da ordem de minutos/decenas de minutos, o primeiro termo domina bem. Para quem for muito exigente, poderia refinar computando mais termos numericamente, mas a diferença não é grande para os alvos de temperatura aqui pedidos.

Resposta

(a) Tempo para o centro atingir 4{ }^{\circ}\mathrm{C}: t\approx 2{,}233\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{s}\approx 37{,}2\\ \mathrm{min}.
(b) Tempo para a seção a 1\\ \mathrm{cm} da superfície atingir 4{ }^{\circ}\mathrm{C}: t\approx 1{,}579\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{s}\approx 26{,}3\\ \mathrm{min}.

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