Uma maçã é resfriada de 21 a
por uma corrente de água fria (
). Sabendo: i) que a dimensão e propriedades termofísicas da maça:
, raio
cm ; ii) que o fluxo de água entre as maçãs resulta em um coeficiente de transferência de calor por convecção igual a
, determine os tempos requeridos para que: a) o centro da maçã alcance a temperatura de
; b) a seção situada a 1 cm da superfície da fruta alcance
.
Passo 1
Vamos listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Temperatura inicial da maçã:
. - Temperatura do escoamento de água (ambiente térmico):
. - Temperatura alvo:
. - Propriedades da maçã (assumidas constantes):
- Condutividade térmica:
. - Densidade:
. - Calor específico:
.
- Condutividade térmica:
- Geometria: esfera de raio
. - Coeficiente convectivo:
.
O enunciado pede:
(a) tempo para o centro da maçã atingir ;
(b) tempo para o ponto situado a da superfície (logo, a distância radial do centro é
) atingir
.
(a) tempo para o centro da maçã atingir
(b) tempo para o ponto situado a
Observação numérica importante que usarei ao longo da resolução:
- Temperatura adimensional (para qualquer ponto) é
- Para
,
Passo 2
Decidir o método: primeiro calcule o número de Biot para saber se podemos usar o modelo de corpo perfeitamente homogêneo (método de capacitância concentrada) ou se precisamos da solução de difusão transiente no sólido.
O comprimento característico para uma esfera é
. Portanto
Substituindo os valores:
Interpretação didática: o critério usual é que, se
, o corpo pode ser tratado como isoterma internamente (modelo de lumped). Aqui
(aprox.
), ou seja: a resistência à convecção é muito menor do que a resistência ao fluxo térmico interno — o gradiente interno é importante. Logo NÃO podemos usar o método de capacitância concentrada e devemos resolver a equação de difusão no domínio radial (solução em séries com autofunções para esfera com condição convectiva na superfície).
Passo 3
Apresentar o modelo matemático e a solução usada (resumo didático):
- A equação de condução transiente em coordenadas radiais (esfera) e condições de contorno são resolvidas por separação de variáveis. A solução para a temperatura adimensional
(com condição inicial uniforme) pode ser escrita como série:
onde
e
é a difusividade térmica,
- Os autovalores
são as raízes não negativas da equação transcendental que vem da condição convectiva na superfície:
- Os coeficientes
(resultantes da expansão da condição inicial uniforme) são dados por
Observação didática: essa expressão surge aplicando ortogonalidade das autofunções e integrando a condição inicial. Não vou repetir a dedução completa (séria e comprida), mas uso essa forma padrão das tabelas/teoria de condução transiente em esferas.
- Para o centro da esfera (
) a forma limite da fração é ; portanto:
Didática sobre aproximação de um termo: na prática costuma-se usar a aproximação de primeiro termo (n=1) porque o primeiro autovalor domina o decaimento em tempos moderados — especialmente quando
é grande, o primeiro termo fornece boa aproximação para estimar tempos de resfriamento até frações moderadas da diferença inicial. Aqui vamos usar a aproximação de um termo (justificarei numericamente).
Passo 4
Calcular
e o tempo característico
.
Tempo característico:
Esse valor apenas fornece escala de tempo; vamos usar a série com o número de Fourier
.
Passo 5
Determinar o primeiro autovalor
resolvendo
Como
é grande, a raiz
está próxima de
(comportamento conhecido: para
,
). Para obter uma aproximação simples e eficaz use a aproximação por
com
pequeno. Próximo de
vale
. Substituindo na equação:
Assim
Com
,
Essa aproximação é suficientemente precisa para a primeira raiz dado o Bi grande. (Se necessário, poderia melhorar por iteração numérica; esse valor já é adequado.)
Passo 6
Calcular o coeficiente
com a fórmula fornecida:
Usando
:
-
. -
.
Substituindo:
Logo
Comentário didático:
fica muito próximo de
quando
é grande; isso é um resultado clássico (o primeiro coeficiente fica próximo de
e domina o comportamento transiente nos tempos não muito pequenos).]
Passo 7
Expressões approximadas (um termo) para temperatura adimensional:
- No centro
:
- No ponto a
(ou seja ):
Calculemos os valores numéricos que aparecerão nessas expressões.
Já temos
e
. Compute
:
Para o ponto
temos
. Então
Multiplicando por
:
Passo 8
Agora resolver para o tempo em cada caso: lembrar que
.
(a) Centro (
):
Logo
Numericamente:
Convertendo para tempo:
(b) Ponto a
da superfície (
):
Então
Numericamente o denominador já calculado é
. Assim
Comentário físico e de método: por que a aproximação de um termo é razoável aqui? Porque para
grande o primeiro autovalor é relativamente pequeno (a taxa
domina o decaimento) e os demais termos possuem expoentes muito maiores (decaiem ainda mais rápido), de modo que, para tempos da ordem de minutos/decenas de minutos, o primeiro termo domina bem. Para quem for muito exigente, poderia refinar computando mais termos numericamente, mas a diferença não é grande para os alvos de temperatura aqui pedidos.
Resposta
(a) Tempo para o centro atingir
:
(b) Tempo para a seção a
da superfície atingir
: