3.64 Um tubo de vapor com raio externo r_{1}=4 \mathrm{~cm} está recoberto por uma camada de cimento-amianto, de espessura L_{1}=1,5, e condutividade térmica k_{1}=0,2 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), recoberto, por sua vez, com lā de vidro com espessura L_{2} =5 \mathrm{~cm} \mathrm{c} condutividade térmica k_{2}=0,038 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Se a temperatura da superfície externa do tubo for T_{1}=300^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura da superfície externa da lā de vidro for 40 C , determine a perda de calor por metro de comprimento do tubo. Admita um fluxo de calor unidimensional, e utilize o conceito de resisténcia térmica. Determine também o coeficiente de transferência de calor total U_{6} baseado na superfície externa do isolamento.

Passo 1

O que o enunciado nos dá (valores que vou usar; peguei tudo do enunciado):
  • raio externo do tubo: r_1 = 4\\ \text{cm}.
  • primeira camada (cimento-amianto): espessura L_1 = 1{,}5\\ \text{cm} e condutividade k_1 = 0{,}2\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}.
  • segunda camada (lã de vidro): espessura L_2 = 5\\ \text{cm} e condutividade k_2 = 0{,}038\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}.
  • temperatura na superfície externa do tubo (superfície interna do isolamento): T_1 = 300^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura na superfície externa da lã (superfície externa do isolamento): T_3 = 40^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
  1. Determinar a perda de calor por metro de comprimento do tubo (ou seja, \dot{Q}' em \mathrm{W/m}), assumindo fluxo radial unidimensional e usando resistências térmicas.
  2. Determinar o coeficiente de transferência de calor total U (o enunciado escreveu U_6, interpreto como o coeficiente total) baseado na superfície externa do isolamento.
Observação: a geometria é de cilindros concêntricos (tubo, depois camada 1, depois camada 2). Não há resistência convectiva adicional porque as temperaturas nas superfícies internas e externas do isolamento foram fornecidas diretamente.

Passo 2

Conversão de unidades e raios das superfícies importantes.
  • Converter centímetros para metros (sempre trabalhar em SI): r_1 = 4\\ \text{cm} = 0{,}04\\ \text{m}.
L_1 = 1{,}5\\ \text{cm} = 0{,}015\\ \text{m}.
L_2 = 5\\ \text{cm} = 0{,}05\\ \text{m}.
  • Calcular os raios das interfaces: r_2 = r_1 + L_1 = 0{,}04 + 0{,}015 = 0{,}055\\ \text{m},
r_3 = r_2 + L_2 = 0{,}055 + 0{,}05 = 0{,}105\\ \text{m}.

Passo 3

Revisão didática: resistência térmica de condução radial em um cilindro e fórmula a usar.
Conceito físico rápido: para condução estacionária em coordenadas cilíndricas, a equação diferencial para fluxo radial constante por unidade de comprimento é obtida da lei de Fourier na forma radial. Integrando, obtém-se que a diferença de temperatura entre duas superfícies cilíndricas concentricas está ligada ao fluxo por uma resistência térmica do tipo logarítmico.
Derivação curta (útil para a prova):
  • Fluxo térmico por unidade de comprimento (positivo do interior para exterior) é \dot{Q}' (unidade \mathrm{W/m}). A lei de Fourier em radial dá \dot{Q}' = -k \, 2\pi r \frac{dT}{dr}.
  • Separando e integrando entre r_a e r_b e entre T_a e T_b: \int_{T_a}^{T_b} dT = -\dot{Q}' \int_{r_a}^{r_b} \frac{dr}{2\pi k r}.Isso leva a T_a - T_b = \dot{Q}' \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_b}{r_a}\right)}{2\pi k}.
  • Definindo a resistência térmica por unidade de comprimento entre r_a e r_b como R_{\text{cond, cil}} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_b}{r_a}\right)}{2\pi k},obtém-se a forma análoga a circuitos elétricos: \dot{Q}' = \frac{T_a - T_b}{R_{\text{cond, cil}}}.
No problema temos duas resistências em série (camada 1 entre r_1 e r_2 com k_1, e camada 2 entre r_2 e r_3 com k_2). Assim a resistência total por metro é
R_{\text{tot}} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k_1} + \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi k_2}.
E
\dot{Q}' = \frac{T_1 - T_3}{R_{\text{tot}}}.

Passo 4

Calcular as resistências numéricas de cada camada (mostrar contas passo a passo).
Primeiro, resistência da camada de cimento-amianto (entre r_1 e r_2):
R_1 = \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k_1} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}055}{0{,}04}\right)}{2\pi \times 0{,}2}.
Calculemos os termos:
\frac{0{,}055}{0{,}04}=1{,}375,\qquad \ln(1{,}375)=0{,}318453\ldots
2\pi k_1 = 2\pi\times 0{,}2 = 1{,}256637\ldots
Logo
R_1 = \frac{0{,}318453}{1{,}256637} \approx 0{,}25348\\ \mathrm{K\!/W\\ (por\\ m)}.
Agora, resistência da camada de lã de vidro (entre r_2 e r_3):
R_2 = \frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi k_2} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}105}{0{,}055}\right)}{2\pi \times 0{,}038}.
Calculemos os termos:
\frac{0{,}105}{0{,}055}=1{,}90909\ldots,\qquad \ln(1{,}90909)=0{,}646627\ldots
2\pi k_2 = 2\pi\times 0{,}038 = 0{,}238761\ldots
Logo
R_2 = \frac{0{,}646627}{0{,}238761} \approx 2{,}70832\\ \mathrm{K\!/W\\ (por\\ m)}.

Passo 5

Resistência total e perda de calor por metro.
  • Resistência total por metro: R_{\text{tot}} = R_1 + R_2 \approx 0{,}25348 + 2{,}70832 = 2{,}96180\\ \mathrm{K\!/W\\ (por\\ m)}.
  • Diferença de temperatura entre as superfícies dadas: \Delta T = T_1 - T_3 = 300^\circ\mathrm{C} - 40^\circ\mathrm{C} = 260\\ \text{K}.
  • Perda de calor por metro: \dot{Q}' = \frac{\Delta T}{R_{\text{tot}}} = \frac{260}{2{,}96180} \approx 87{,}84\\ \mathrm{W/m}.
Interpretação rápida: a maior parte da resistência está na camada de lã de vidro ( R_2 ), por causa do baixo k_2 e da espessura relativamente grande.

Passo 6

Cálculo do coeficiente global de transferência de calor U baseado na superfície externa do isolamento.
Definição prática usada em engenharia: para uma superfície externa com área A_o, o coeficiente U é definido de modo que
\dot{Q}' = U \, A_o \, (T_1 - T_3),
onde aqui estamos trabalhando por unidade de comprimento, logo A_o por metro de comprimento é a área lateral externa por metro:
A_o = 2\pi r_3 \times 1\\ \text{m} = 2\pi r_3.
Logo
U = \frac{\dot{Q}'}{A_o (T_1 - T_3)} = \frac{1}{R_{\text{tot}}\, A_o}.
Calcule A_o:
A_o = 2\pi r_3 = 2\pi \times 0{,}105 \approx 0{,}659734\\ \mathrm{m^2\!/m}.
Agora U:
U = \frac{1}{R_{\text{tot}}\, A_o} = \frac{1}{2{,}96180 \times 0{,}659734} \approx 0{,}5117\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}.

Passo 7

Resumo final e dicas rápidas para a prova:
  • Resultado numérico principal: \dot{Q}'\approx 87{,}8\\ \mathrm{W/m}. Isso é a potência perdida por metro de tubo entre as superfícies cujas temperaturas foram fornecidas.
  • O isolamento mais eficaz é aquele com menor k e maior espessura; aqui a lã de vidro responde por quase toda a resistência porque k_2 é muito menor que k_1.
  • Para questões similares: converta tudo para SI, calcule raios das interfaces, use a expressão logarítmica da resistência para cilindros e some as resistências em série. Se forem incluídas resistências convectivas nas superfícies, elas entram como resistências adicionais (ex.: 1/(hA)).

Resposta

\dot{Q}' \approx 87{,}84\\ \mathrm{W/m}
U \approx 0{,}5117\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}

Exercícios relacionados