Um malabarista joga três bolas em um ciclo contínuo. Qualquer bola está em contato com uma de suas mãos por um quinto do tempo. (a) Descreva o movimento do centro de massa das três bolas. (b) Que força média o malabarista exerce sobre uma bola enquanto a está tocando?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Informação: Há três bolas idênticas sendo malabarizadas em um ciclo contínuo.
  • Informação: Qualquer bola está em contato com uma das mãos por um quinto do tempo. Vou chamar essa fração de contato de f=\tfrac{1}{5}.
  • Pergunta (a): Descrever o movimento do centro de massa das três bolas.
  • Pergunta (b): Calcular a força média que o malabarista exerce sobre uma bola enquanto a está tocando.
Para organizar a resolução vou introduzir: massa de cada bola m, aceleração da gravidade g, período do ciclo de uma bola T, tempo de contato de uma bola com a mão t_c (então t_c=fT) e tempo de voo t_f=T-t_c.

Passo 2

Conceitos físicos fundamentais que vamos usar (explicados passo a passo e intuitivamente).
  • Newton e média temporal: se o movimento de uma partícula é periódico (após cada período a velocidade volta ao mesmo valor), então a variação total de quantidade de movimento em um período é zero. Portanto a média temporal das forças externas é compatível com aceleração média nula.
  • Para uma única bola as forças externas verticais são: o peso mg (sempre para baixo) e, apenas durante o contato com a mão, uma força da mão F_{\text{mão}}ã (para cima). No voo essa força da mão é zero.
  • Definição de força média durante o contato: quando dissermos “força média que o malabarista exerce enquanto a está tocando” queremos a força média sobre a bola durante o intervalo t_c em que ela está na mão, que chamarei F_c.
Vou usar essas ideias para obter relações simples por integração temporal sobre um período.

Passo 3

Raciocínio para uma bola isolada (preparando a resposta do item (b)).
  • Consideramos uma bola durante um período T. Em regime periódico a velocidade da bola no início e no fim do período coincide, então a variação total de quantidade de movimento no período é zero.
  • Pela segunda lei de Newton, a variação de quantidade de movimento é igual à integral das forças externas ao longo do tempo. Escrevendo em média:
\frac{1}{T}\int_{0}^{T} (F_{\text{mão}}(t)-mg)\,dt = m\cdot \frac{\Delta v_{\text{média}}}{T} = 0.ãé
  • Como F_{\text{mão}}(t)ã é zero durante o voo e igual a F_c durante o contato de duração t_c, a integral fica
\frac{1}{T}\big( t_c F_c - T mg \big)=0.
  • Isolando F_c obtemos
t_c F_c = T mg \quad\Rightarrow\quad F_c = \frac{T}{t_c}\, mg.
  • Usando t_c=fT (com f=\tfrac{1}{5}):
F_c = \frac{T}{fT}\, mg = \frac{1}{f}\, mg.

Passo 4

Conclusão numérica para a força média durante o toque (resposta do item (b)).
  • Substituindo f=\tfrac{1}{5} na fórmula anterior:
F_c = \frac{1}{1/5}\, mg = 5\, mg.
  • Interpretação: enquanto a mão está em contato com a bola ela exerce, em média, uma força para cima de 5\,mg. Isso faz sentido físico: a força média durante pouco tempo tem de ser maior que o peso para, no conjunto do período, compensar a gravidade e devolver a velocidade necessária para o padrão periódico.

Passo 5

Raciocínio para o centro de massa das três bolas (item (a)) — passos conceituais.
  • As três bolas são idênticas, cada uma com massa m. A massa total do sistema de bolas é 3m.
  • A força externa vertical total sobre o sistema é a soma dos pesos ( 3mg para baixo) mais as forças da(s) mão(s) sobre as bolas (para cima) nos instantes de contato.
  • Podemos considerar a média temporal da força externa total durante um ciclo. Em regime periódico a posição e a velocidade do centro de massa ao fim do período coincidem com o início, então a aceleração média do centro de massa é zero.
  • Logo, a força média total das mãos sobre as três bolas deve equilibrar o peso total:
\langle F_{\text{mãos, total}}\rangle = 3mg.ã

Passo 6

Quantificação e descrição dinâmica do movimento do centro de massa.
  • Em média, quantos bolas estão em contato com as mãos? Cada bola está em contato fraction f=\tfrac{1}{5} do tempo, portanto o número médio de bolas em contato é 3f=3\cdot \tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{5}. Multiplicando pela força média por bola no contato F_c=5mg, obtemos força média total das mãos:
\langle F_{\text{mãos, total}}\rangle = \tfrac{3}{5}\cdot 5mg = 3mg,ã
que confirma o equilíbrio médio com o peso total.
  • Consequência física: o centro de massa não tem aceleração média vertical (a aceleração média é zero), portanto não há deslocamento vertical contínuo do centro de massa — ele pode oscilar durante o ciclo, mas não sobe nem desce em média. Se escolhemos o referencial onde a velocidade média seja zero, o centro de massa fica em altura média constante.
  • Descrição mais concreta do movimento: entre as capturas/lançamentos o(s) centro(s) individuais caem livremente e as mãos fornecem impulsos ascendentes ao serem agarradas/lançadas; agregando os três efeitos periódicos, o centro de massa do conjunto realiza uma oscilação periódica (ou fica estacionário em média) mas não apresenta aceleração média para baixo nem para cima. Em outras palavras, o CM executa movimentos periódicos (pequenas variações) mas, em regime estacionário, sua posição média é constante.

Passo 7

Intuição final e verificação numérica rápida (para motivar e dar confiança).
  • Se quiser ver isso com números: suponha m=0{,}1\\ \text{kg} e g=9{,}8\\ \text{m/s}^2. Então
F_c = 5\,mg = 5\times 0{,}1\times 9{,}8 = 4{,}9\\ \text{N}.
  • Isso significa que, durante o curto tempo de contato, a mão empurra cada bola com força média de 4{,}9\\ \text{N} para cima, de modo que ao longo do período o efeito médio compensa o peso 0{,}98\\ \text{N} e mantém o padrão periódico.

Resposta

(a) O centro de massa das três bolas não sofre aceleração média vertical: em regime periódico sua posição média é constante (o CM pode oscilar periodicamente durante o ciclo, mas não sobe nem desce em média).\n(b) A força média que o malabarista exerce sobre uma bola enquanto a está tocando é 5\,mg.

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