Um malabarista joga três bolas em um ciclo contínuo. Qualquer bola está em contato com uma de suas mãos por um quinto do tempo. (a) Descreva o movimento do centro de massa das três bolas. (b) Que força média o malabarista exerce sobre uma bola enquanto a está tocando?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
- Informação: Há três bolas idênticas sendo malabarizadas em um ciclo contínuo.
- Informação: Qualquer bola está em contato com uma das mãos por um quinto do tempo. Vou chamar essa fração de contato de
. - Pergunta (a): Descrever o movimento do centro de massa das três bolas.
- Pergunta (b): Calcular a força média que o malabarista exerce sobre uma bola enquanto a está tocando.
Para organizar a resolução vou introduzir: massa de cada bola
, aceleração da gravidade
, período do ciclo de uma bola
, tempo de contato de uma bola com a mão
(então
) e tempo de voo
.
Passo 2
Conceitos físicos fundamentais que vamos usar (explicados passo a passo e intuitivamente).
- Newton e média temporal: se o movimento de uma partícula é periódico (após cada período a velocidade volta ao mesmo valor), então a variação total de quantidade de movimento em um período é zero. Portanto a média temporal das forças externas é compatível com aceleração média nula.
- Para uma única bola as forças externas verticais são: o peso
(sempre para baixo) e, apenas durante o contato com a mão, uma força da mão (para cima). No voo essa força da mão é zero. - Definição de força média durante o contato: quando dissermos “força média que o malabarista exerce enquanto a está tocando” queremos a força média sobre a bola durante o intervalo
em que ela está na mão, que chamarei .
Vou usar essas ideias para obter relações simples por integração temporal sobre um período.
Passo 3
Raciocínio para uma bola isolada (preparando a resposta do item (b)).
- Consideramos uma bola durante um período
. Em regime periódico a velocidade da bola no início e no fim do período coincide, então a variação total de quantidade de movimento no período é zero. - Pela segunda lei de Newton, a variação de quantidade de movimento é igual à integral das forças externas ao longo do tempo. Escrevendo em média:
- Como
é zero durante o voo e igual a durante o contato de duração , a integral fica
- Isolando
obtemos
- Usando
(com ):
Passo 4
Conclusão numérica para a força média durante o toque (resposta do item (b)).
- Substituindo
na fórmula anterior:
- Interpretação: enquanto a mão está em contato com a bola ela exerce, em média, uma força para cima de
. Isso faz sentido físico: a força média durante pouco tempo tem de ser maior que o peso para, no conjunto do período, compensar a gravidade e devolver a velocidade necessária para o padrão periódico.
Passo 5
Raciocínio para o centro de massa das três bolas (item (a)) — passos conceituais.
- As três bolas são idênticas, cada uma com massa
. A massa total do sistema de bolas é . - A força externa vertical total sobre o sistema é a soma dos pesos (
para baixo) mais as forças da(s) mão(s) sobre as bolas (para cima) nos instantes de contato. - Podemos considerar a média temporal da força externa total durante um ciclo. Em regime periódico a posição e a velocidade do centro de massa ao fim do período coincidem com o início, então a aceleração média do centro de massa é zero.
- Logo, a força média total das mãos sobre as três bolas deve equilibrar o peso total:
Passo 6
Quantificação e descrição dinâmica do movimento do centro de massa.
- Em média, quantos bolas estão em contato com as mãos? Cada bola está em contato fraction
do tempo, portanto o número médio de bolas em contato é . Multiplicando pela força média por bola no contato , obtemos força média total das mãos:
que confirma o equilíbrio médio com o peso total.
- Consequência física: o centro de massa não tem aceleração média vertical (a aceleração média é zero), portanto não há deslocamento vertical contínuo do centro de massa — ele pode oscilar durante o ciclo, mas não sobe nem desce em média. Se escolhemos o referencial onde a velocidade média seja zero, o centro de massa fica em altura média constante.
- Descrição mais concreta do movimento: entre as capturas/lançamentos o(s) centro(s) individuais caem livremente e as mãos fornecem impulsos ascendentes ao serem agarradas/lançadas; agregando os três efeitos periódicos, o centro de massa do conjunto realiza uma oscilação periódica (ou fica estacionário em média) mas não apresenta aceleração média para baixo nem para cima. Em outras palavras, o CM executa movimentos periódicos (pequenas variações) mas, em regime estacionário, sua posição média é constante.
Passo 7
Intuição final e verificação numérica rápida (para motivar e dar confiança).
- Se quiser ver isso com números: suponha
e . Então
- Isso significa que, durante o curto tempo de contato, a mão empurra cada bola com força média de
para cima, de modo que ao longo do período o efeito médio compensa o peso e mantém o padrão periódico.
Resposta
(a) O centro de massa das três bolas não sofre aceleração média vertical: em regime periódico sua posição média é constante (o CM pode oscilar periodicamente durante o ciclo, mas não sobe nem desce em média).\n(b) A força média que o malabarista exerce sobre uma bola enquanto a está tocando é
.